【小组专题四点五：素数】素数的分布，素数定理，素数猜想与兰道问题

3.2 素数的分布与猜想

π(x)\pi(x)π(x) 的近似估计函数
- 1798年，法国数学家勒让德通过 JurijVegaJurij\;\;VegaJurijVega 计算到400031的素数表
  
  得到了 π(x)≈xlog⁡x−1.08366\pi(x)\approx \frac{x}{\log x-1.08366}π(x)≈logx−1.08366x
- 高斯猜测 π(x)\pi(x)π(x) 的增长速率和下面的函数是相同的：
  
  xlog⁡x\frac{x}{\log x}logxx 和 Li(x)=∫2xdtlog⁡tLi(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t}Li(x)=∫2xlogtdt
- 1850年，俄国数学家切比雪夫第一个实质性证明了 π(x)\pi(x)π(x) 可以用 xlog⁡x\frac{x}{\log x}logxx 来近似表示。
  
  他证明了 $\exist C_1,C_2\in R,\ C_1<1<C_2,\ s.t.\ $
  C1xlog⁡x<π(x)<C2xlog⁡xC_1\frac{x}{\log x}<\pi(x)<C_2\frac{x}{\log x} C1logxx<π(x)<C2logxx
素数定理：对于足够大的 xxx 都成立。随着 xxx 的增长， xlog⁡x\frac{x}{\log x}logxx 的比的极限为 111。
- lim⁡x→∞π(x)xlog⁡x=1\frac{\underset{x\rightarrow\infin}{\lim}\pi(x)}{\frac{x}{\log x}} = 1logxxx→∞limπ(x)=1 或 π(x)∼xlog⁡x\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}π(x)∼logxx
- 在1896年被发过数学家阿达玛和比利时数学家德·拉·瓦雷-普桑分别独立地给出证明
  - 他们将 π(x)\pi(x)π(x) 与 ζ(s)\zeta(s)ζ(s) 联系起来。
  - ζ(s)=∑∞n=11ns\zeta(s)=\underset{n=1}{\overset{\infin}{\sum}}\frac{1}{n^s}ζ(s)=n=1∑∞ns1
  - ζ(s)=∑∞n=11ns=∏p(1−1ps)−1\zeta(s)=\underset{n=1}{\overset{\infin}{\sum}}\frac{1}{n^s}=\underset{p}{\prod}(1-\frac{1}{p^s})^{-1}ζ(s)=n=1∑∞ns1=p∏(1−ps1)−1
    - 其中 ppp 取遍所有的素数。
  - 德·拉·瓦雷-普桑证明了对于所有的常数 aaa ，函数 Li(x)Li(x)Li(x) 比 xlog⁡x−a\frac{x}{\log x-a}logx−ax 更接近 π(x)\pi(x)π(x)
- 1949年，挪威数学家塞尔伯格和匈牙利数学家爱尔迪西分别给出了素数定理的初等证明。
素数的分部间隔
- 存在任意长的连续正整数序列不含有素数
- 构造方法： (n+1)!+2,(n+1)!+3,⋯,(n+1)!+(n+1)(n+1)!+2,\ (n+1)!+3,\cdots,(n+1)!+(n+1)(n+1)!+2, (n+1)!+3,⋯,(n+1)!+(n+1)
- 易得每一项都是合数。nnn 可以取无穷大。
关于素数的猜想等
- 伯兰特公设
  - 1845年，法国数学家伯兰特猜想：
  - ∀n∈Z+,∃p,pisaprime,s.t.n<p<2n\forall n\in \mathbb{Z}^+,\ \exist\ p,\ p\ is\ a\ prime,s.t.\ n<p<2n∀n∈Z+, ∃ p, p is a prime,s.t. n<p<2n
  - 该猜想第一个证明：1852年由切比雪夫给出
- 孪生素数猜想
  - 存在无穷多的形如 ppp 和 p+2p+2p+2 的素数对。
  - 2016年计算出的最大的孪生素数为 2,996,863,034,895×21,290,000±12,996,863,034,895\times2^{1,290,000}\pm12,996,863,034,895×21,290,000±1
- 三胞胎素数三胞胎素数
  - A类三胞胎素数，构成为 {p,p+2,p+6}\{p,p+2,p+6\}{p,p+2,p+6}
  - B类三胞胎素数，构成为 {p,p+4,p+6}\{p,p+4,p+6\}{p,p+4,p+6}
  - 当 p>3p>3p>3 是，形如 {p,p+2,p+4}\{p,p+2,p+4\}{p,p+2,p+4} 的数组不可能是三胞胎素数。
- Brun 常数（布朗常数）布朗常数
  - 1919年，挪威数学家维果·布朗证明了所有孪生素数的倒数之和收敛域一个数学常数，称作 Brun’s constant， DD.B2DD.B_2DD.B2
  - B2=∑pandp+2arebothprimes(1p+1p+2)B_2=\underset{p\ and\ p+2\ are\ both\ primes}{\sum}(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2})B2=p and p+2 are both primes∑(p1+p+21)
  - 近似值为 1.90216058241.90216058241.9021605824
- 四胞胎素数的布朗常量四胞胎素数
- 四胞胎素数是指符合以下形式的素数 {p,p+2,p+6,p+8}\{p,p+2,p+6,p+8\}{p,p+2,p+6,p+8}
- B4B_4B4 = 所有四胞胎素数的倒数之和
- 近似值为 B4≈0.87058838B_4\approx 0.87058838B4≈0.87058838
- 表兄弟素数（或远亲素数） Knowpia链接
  - 形如 {p,p+4}\{p,p+4\}{p,p+4} 的素数对
  - B4=∑pandp+4arebothprimes(1p+1p+4)B_4=\underset{p\ and\ p+4\ are\ both\ primes}{\sum}(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+4})B4=p and p+4 are both primes∑(p1+p+41)
  - 近似值为 B4≈1.1970449B_4\approx 1.1970449B4≈1.1970449
- 六素数六素数
  - 指形如{p,p+6}\{p,p+6\}{p,p+6} 的素数对
  - 六素数三元组
    - 指素数三元组 {p,p+6,p+12}\{p,p+6,p+12\}{p,p+6,p+12} 并使得 p+18p+18p+18 是合数。
    - 六素数三元组中间一定是平衡素数。
  - 六素数四元组
    - 指素数四元组 {p,p+6,p+12,p+18}\{p,p+6,p+12,p+18\}{p,p+6,p+12,p+18} 在十进制下只能以最后一位为1的素数开始（除去 p=5p=5p=5 的四元组）
    - 六素数四元组中间的两个一定都是平衡素数
  - 六素数五元组
    - 指素数五元组 {p,p+6,p+12,p+18,p+24}\{p,p+6,p+12,p+18,p+24\}{p,p+6,p+12,p+18,p+24}
    - 只有一组，为 {5,11,17,23,29}\{5,11,17,23,29\}{5,11,17,23,29}
    - 证明：必有一项被 555 整除。
- 兰道问题
  - 包括哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、 n2+1n^2+1n2+1 猜想以及勒让德猜想。
- 素数等差数列的厄尔多斯猜想
  - 对任意的正整数 n≥3n\ge3n≥3，有一个由素数组成的长度为 nnn 的等差数列。
  - Green-Tao 定理
    - 2006年 Ben Green 和陶哲轩证明了该猜想。
- 哥德巴赫猜想
  - 每个大于 222 的正偶数可以写成两个素数的和。
  - 现已验证所有小于 101810^{18}1018 的偶数满足这个猜想。
  - 这个猜想的证明没人给出。至今为止最好的结果是陈景润证明出了，每个足够大的偶数可以写成一个素数和一个之多由两个素数的乘积得到的数的和。
- n2+1n^2+1n2+1 猜想
  - 存在无穷多个形如 n2+1n^2+1n2+1 的素数，其中 nnn 是正整数。
  - 至今为止最好的结果是 Henryk Iwaniec 证明出了存在无穷多个 nnn 使得 n2+1n^2+1n2+1 是素数或者是两个素数的乘积。
- 勒让德猜想
  - 每两个连续的整数的平方之间必有一个素数。
  - 数值表明对于 n≤1018n\le 10^{18}n≤1018 ，n2n^2n2 与 (n+1)2(n+1)^2(n+1)2 之间均存在一个素数。
  - Ingham 曾经证明对于足够大的 nnn ， n3n^3n3 与 (n+1)3(n+1)^3(n+1)3 之间必有一素数。
平衡素数
- 平衡素数是指上下具有相等大小素数间隔的素数。

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