梅森素数与完全数

(本文已在《中小学数学》(初中版2015年11期) 上发表

湖北省潜江市江汉油田教育实业集团教科院 舒云水 433124

人教版五年级下册数学课本介绍了完全数，人类寻找这48个完全数是经过了一个漫长艰难的过程，本文将作一个介绍﹒

寻找完全数与寻找梅森素数是联糸在一起的，下面先谈梅森素数的寻找历史﹒

1. 梅森素数

梅森(1588—1648)是法国数学家，自然哲学家和宗教家﹒他在1644年提出了梅森素数﹒梅森的提出是探索表素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义﹒将形如的数叫做梅森数，其中是素数的梅森数叫做梅森素数，梅森提出的问题具有启发性，但他当时的判断有误﹒他说，对p=2,3,5,7,13,17,31,67,127,257, 是素数，而p<257的其它素数对应的都是合数﹒梅森是如何得到这一结论的呢？无人知晓﹒到了1947年有了台式计算机后，人们才能检查他的结论，发现他犯了五个错误，不是素数，而是素数﹒

梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大﹒它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算﹒1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，花了两天的时间，靠心算证明了(即2147483647)是第8个梅森素数﹒这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数﹒欧拉证明这一素数的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已！

1867年以来，人们已经知道是合数，但对它的因数一无所知﹒1903年10月在美国数学会举行的一次会上，数学家科尔提交一篇论文《大数的因子分解》﹒轮到科尔报告时，他走到黑板前，一言未发便作起2的方幂的演算，直到2的67次幂，从所得结果减去1，然后默默无言地在黑板的空白处写下两个数相乘：

193707721761838257287﹒

两个计算结果完全一样﹒之后，他只字未吐又回到自己的座位上，会场爆发了热烈的掌声！这短短几分钟的报告却花了科尔3年的全部星期天﹒

在手工计算的时代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数，它们是，其中

p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127﹒

计算机发明出来后，人们借助电子计算机去寻找梅森素数，从1952年后到1996年5月为止，陆续发现了22梅森素数，其中

p=521(1952), 607(1952)，1279(1952)，2203(1952)，2281(1952)，3217(1957)，4253(1961)，4423(1961)，9689(1963)，9941(1963)，11213(1963)，19937(1971)，21701(1978)，23209(1979)，44497(1979)，86243(1983)，110503(1988)，132049(1983)，216091(1985)，756839(1992)，859433(1994)，1257787(1996)﹒括号里的数字为发现的年份﹒

上面最后一个梅森素数是1996年5月美国威斯康星州克雷研究所发现的，是迄今为止最后一个由超级计算机发现的梅森素数﹒该所的计算机专家史洛温斯基一共发现了7个梅森素数，他因此被人们称为“素数大王”﹒

使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了﹒1996年初美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页下供数学家和数学爱好者免费使用，这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，GIMPS项目实施以来，利用该项目已经发现了14个梅森素数，到目前为止现在一共发现了48个梅森素数，1996年11月以后发现的梅森素数都是利用该项目发现的，世界上已有180个国家和地区近27万人参加了这一项目，并动用了74万多台计算机联网来进行网络分布式计算﹒下面按发现时间顺序给出这14个梅森素数，括号里的数字是发现时间﹒

P=1398269(1996-11-13),2976221(1997-08-24),3021377(1998-01-27),6972593(1999-06-01)2001-11-14)2003-11-17)2004-05-15)2005-02-18)2005-12-15)2006-09-04)2008-08-23)2008-09-06)2009-04-12)

其中最大的梅森素数是第个，它是2013年1月25日，由美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀领导的研究小组发现的，该素数是一数，如果用5号字

库珀博士是搜索梅森素数的老手了，还有两个梅森