一般筛法求素数+快速线性筛法求素数
一般筛法求素数+快速线性筛法求素数
版权声明:本文为博主原创文章,转载请注明出处。
目录(?)[+]
TAG 素数 数论
素数总是一个比较常涉及到的内容,掌握求素数的方法是一项基本功。
基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数,直接枚举因子2 。。N^(0.5) ,看看能否整除N。
如果需要判断的次数较多,则先用下面介绍的办法预处理。
一般的线性筛法
首先先介绍一般的线性筛法求素数
- void make_prime() {
- memset(prime, 1, sizeof(prime));
- prime[0]=false;
- prime[1]=false;
- int N=31700;
- for (int i=2; i<N; i++)
- if (prime[i]) {
- primes[++cnt ]=i;
- for (int k=i*i; k<N; k+=i)
- prime[k]=false;
- }
- return;
- }
这种方法比较好理解,初始时,假设全部都是素数,当找到一个素数时,显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i , 比 i*2 要快点 ),把这些合数都筛掉,即算法名字的由来。
但仔细分析能发现,这种方法会造成重复筛除合数,影响效率。比如10,在i=2的时候,k=2*15筛了一次;在i=5,k=5*6 的时候又筛了一次。所以,也就有了快速线性筛法。
快速线性筛法
快速线性筛法没有冗余,不会重复筛除一个数,所以“几乎”是线性的,虽然从代码上分析,时间复杂度并不是O(n)。先上代码
- #include<iostream>
- using namespace std;
- const long N = 200000;
- long prime[N] = {0},num_prime = 0;
- int isNotPrime[N] = {1, 1};
- int main()
- {
- for(long i = 2 ; i < N ; i ++)
- {
- if(! isNotPrime[i])
- prime[num_prime ++]=i;
- //关键处1
- for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] < N ; j ++)
- {
- isNotPrime[i * prime[j]] = 1;
- if( !(i % prime[j] ) ) //关键处2
- break;
- }
- }
- return 0;
- }
首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。
不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,
①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等
②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数(2<=i<=n), pi<=pj ( i<=j )
p1是最小的系数。
根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j] 的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质数*i。
我们可以直观地举个例子。i=2*3*5
此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i
如果能筛除3*i 的话,当 i' 等于 i'=3*3*5 时,筛除2*i' 就和前面重复了。
需要证明的东西:
- 一个数会不会被重复筛除。
- 合数肯定会被干掉。
根据上面红字的条件,现在分析一个数会不会被重复筛除。
设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数(1<=i<=n) , pi<=pj ( i<=j )
当 i = 2 时,就是上面①的情况,
当 i >2 时, 就是上面②的情况, 对于 i ,第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3...*pn(p2可以与p1相等或不等),而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。
证明合数肯定会被干掉? 用归纳法吧。
类比一个模型,比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ,1<=i<=n, 1<=j<=n,
我们会这么写
for (i=1; i<n; ++i )
for (j=i+1; j<=n; ++j)
{
/
}
我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理,不过这里比较难理解,没那么直观。
1楼提供的方法,我整理下
//偶数显然不行,所以先去掉偶数。可以看作上面第一种的优化吧。
//不过这种方法不太直观,不太好理解。
- 我推荐这个算法! 易于理解。 只算奇数部分,时空效率都还不错!
- half=SIZE/2;
- int sn = (int) sqrt(SIZE);
- for (i = 0; i < half; i++)
- p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3,即p[i]对应2*i+3
- for (i = 0; i < sn; i++) {
- if(p[i])//如果 i+i+3 是素数
- {
- for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k)
- // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2
- // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i
- // 下标 i k*i+k+i
- //对应数值 k=i+i+3 k^2
- p[j]=false;
- }
- }
- //素数都存放在 p 数组中,p[i]=true代表 i+i+2 是素数。
- //举例,3是素数,按3*3,3*5,3*7...的次序筛选,因为只保存奇数,所以不用删3*4,3*6....
一般筛法求素数+快速线性筛法求素数相关推荐
- 一般筛法和快速线性筛法求素数 求素数的一点总结
素数总是一个比较常涉及到的内容,掌握求素数的方法是一项基本功. 基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数,直接枚举因子2 ..N^(0.5) ,看看能否整除N. 如果需要判断的次数较多,则先用 ...
- 求素数: 一般线性筛法 + 快速线性筛法
From: http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550 素数总是一个比较常涉及到的内容,掌握求素数的方法是一项基本功. 基本原则就是题目 ...
- 素数的线性筛法java,埃氏筛 线性筛(欧拉筛) 算法解析
埃氏晒 埃拉托斯特尼筛法,简称埃氏晒,是一种用来求自然数n以内的全部素数. 他的基本原理是,如果我们要获得小于n的所有素数,那就把不大于根号n的所有素数的倍数剔除. 埃氏晒的原理很容易理解,一个合数, ...
- 随机算法求pi、线性同余法求random、拉斯维加斯算法python
一.随机算法求pi # 计算圆周率 import pdb import random def CalcPai(n):# 计算π值k = 0for i in range(0,n):x = random. ...
- 线性筛法求素数c语言,[算法]素数筛法(埃氏筛法线性筛法)
一.素数筛的定义 给定一个整数n,求出[1,n]之间的所有质数(素数),这样的问题为素数筛(素数的筛选问题). 二.埃氏筛法(Eratosthenes筛法) 埃氏筛法又叫做Eratosthenes筛法 ...
- 线性筛法--有测试代码
//线性筛法--有测试代码 /* 数论 - 欧拉筛法(线性筛)的解释 https://blog.csdn.net/Losk_0/article/details/87884390素数筛法详解(欧拉筛&a ...
- 【蓝桥杯】欧拉定理 + 欧拉数线性筛法
BYTHEWAY,一个素数p的原根个数=φ(p-1) ,记到嘛. 欧拉函数φ 欧拉定理是用来阐述素数模下,指数同余的性质. 欧拉定理:对于正整数N,代表小于等于N的与N互质的数的个 ...
- 素数筛法求素数(线性时间)
摘自:http://blog.csdn.net/once_hnu/article/details/6302283 逆向思维的典型应用! 1)普通方法判断素数:O(n*sqrt(n)) 2)筛法求素数: ...
- 数论 判断素数:普通素数判别 线性筛 二次筛法求素数 米勒拉宾素数检验
普通的素数判断法 当我们要判断一个数字是否是素数的时候,往往会直接看这个数字模1到这个数字的根号,看有没有等于零的,从而判断这个数字是不是素数,这样做的时间复杂度为O(sqrt(n)) bool is ...
最新文章
- 程序员是否必须会算法
- sqlserver怎么将excel表的数据导入到数据库中
- 生成随机字符串的几种常用方式
- 160 - 20 BuLLeT.8
- 22、在有序数组中插入一个数值,数组仍然有序——数组
- Review JDBC
- springboot集成quartz完成定时任务
- 海康威视4200服务器显示资源不足,硬盘录像机提示“资源不足”是什么原因 -
- tl-wn821n无线网卡驱动 linux,tl-wn821n无线网卡驱动下载
- ipa-server
- 研究生师兄谈SCI论文写作心得
- ios9企业证书提示“未受信任的企业级开发者”解决方法
- 计算机入门新人必学,电脑新手入门教程 让你快速上手
- 笔记 -- 时间复杂度 log2n
- 行内元素、块元素、行内块元素的区别
- 各大电商API详细数据获取
- 加减法叫做什么运算_加减法四则运算的计算方法是什么
- 华为鸿蒙车,华为鸿蒙「上车」
- 2022年起重机械指挥特种作业证考试题库模拟考试平台操作
- 华为特聘PPT设计师年薪百万:改变你的不是打卡,而是坚持