[转载]LFSR的工作原理以及LFSR在CRC上的应用

LFSR+CRC

LFSR(Linear feedback shift register):线性反馈移位寄存器

CRC(cyclic redundancy check)：循环冗余校验码

一 LFSR

线性反馈移位寄存器(LFSR)是内测试电路中最基本的标准模块结构，既用作伪随机测试码产生器，也作为压缩测试结果数据的特征分析器。

一个n阶的LFSR由n个触发器和若干个异或门组成。在实际应用当中，主要用到两种类型的LFSR，即异或门外接线性反馈移位寄存器（IE型LFSR，图1）和异或门内接线性反馈移位寄存器（EE型LFSR，图2）。其中g0 g1 g2 gn为’0’或’1’， Q1 Q2 Q3 Qn为LFSR的输出，M(x)是输入的码字多项式，如M(x)=x4+ x1+ 1，表示输入端的输入顺序为11001，同样，LFSR的结构也可以表示为多项式G(x)，称为生成多项式：

G(x)= gn*xn+ …+g1*x1+ g0；

图1 IE型LFSR

图2 EE型LFSR

以EE型LFSR为例来分析LFSR的工作原理以应用，参照有趣的线性反馈移位寄存器(LFSR) - 与非网的博文，并对一些地方加以说明。

以n = 3 来做个例子,具体的电路图如图3所示：

图3 LFSR的电路结构

假设开始的时候（D2，D1，D0 ） = （0，0，1），那么每过一个时钟周期会进行跳变一次，可以看到具体的跳变如图4所示：

图4 LFSR的输出跳变图

然后我们可以看到这个计数器循环起来了，无论进入那样一个状态除了0之外，都可以循环着回来，其实这里就相当于了一个3bit的伪随机数，很有意思，不是所有的多项式都有这个特性，我们现在在从数学上面来看看这个问题,其实最上面的电路是可以看成是一个除法电路，在Galois域的一个除法电路。现在假设的是R（x）是寄存器中剩余的数据，M(x)是输入的码字多项式，然后数学公式可以表示成：

然后分别计算出了Ｍ（ｘ）的各种情况，

对于这个部分的计算我开始走进了误区，因为开始我把这的除法当作二进制除法来算了，所以一直没得到正确的结果，后来我明白了这的除法是模二的除法，在LFSR的结果中，多项式中的“+”都是模2加，就是异或运算，所以是没有进位的概念；同样，这里的除法秀的也是模2除法，即除法过程中用到的减法是模2减法，是不会产生加法进位和减法借位的运算，所以在进行模2除法时，只要部分余数首位为1，便可上商1，否则上商0，然后按照模2减法求得余数，当被除数被除完时，最后得到比除数少一位的余数。

这里用一个例子说明一下，比如M(x)=x7时，R(x)=1;模2的计算公式如下：

所以这里一定要区别模2和二进制数之间的运算的区别。

M(x)和R(x)到底是什么意义呢？

比如M(x)=1时，R(x)=1，指的就是当M(x)输入一个1时，这时的R(x)为1，即寄存器剩余的数为001，即Q1=1，Q2=0，Q3=0。

又M(x)=x时，R(x)=x，指的就是当M(x)顺序输入1，0时，这时的R(x)为x，即寄存器剩余的数为010，即Q1=0，Q2=1，Q3=0。

同理，可以知道，当M(x)=x6时，R(x)=x2+1，指的就是当M(x)顺序输入1，0，0，0，0，0，0时，这时的R(x)为x2+1，即寄存器剩余的数为010，即Q1=1，Q2=0，Q3=1。

可以看出，当第一个时钟时输入端输入一个1时，以后保持输入端为0，则随着时钟的到来，输入码字多项式就是按照1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，…，xn这样的顺序发展着，观察前六个输入的R(x)分别对应的输出为：001，010，100，011，101，111，101，111，刚好为除去000的其他七个状态，当M(x)为x7时，输出又回来001，所以输出一直这样循环下去，因此LFSR可以用来BIST的伪随机测试码产生器。

二 CRC（参考博文http://blog.sina.com.cn/s/blog_468e65190100cxq3.html）

循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)可以使整个编码被除余数为0。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2的R次方，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2的R次方除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

通过CRC的生成原理知道CRC的检验码生成是通过除法得到，由此联想到可以通过LFSR来产生校验码。

假设原信息码子多项式为

生成多项式为

那么CRC的码字为

，使用用LFSR电路来进行实现，将M(x)向左移r位在电路中的意义即为输入完信息码后再输入r个0，所以在电路上的表现就如图5所示。

图5 使用LFSR来产生CRE校验码

将这个时刻产生的寄存器输入添加到原信息码的后边就进行完了CRC编码，同样接收端可以使用LFSR来进行CRC检验

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