欧拉角

欧拉角可以看做一个坐标，此坐标都是相对于同一个初始状态即（0,0,0）即物体坐标系和世界坐标系重合，且三角度都是0，从此初试状态开始，按照定义的旋转顺序，按照静态或动态的方式，旋转指定的角度，从而得到最终的状态。

1.欧拉角给出旋转角度的同时也要给出旋转顺序，顺序不同结果也不同

2.根据旋转选择的坐标系，可以分为静态和动态：

a. 静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静止，所以称为静态。

b. 动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。使用动态欧拉角会出现万向锁现象；静态欧拉角不存在万向锁的问题。

俯仰角 pitch

航向角 yaw

滚转角 Roll

对于坐标系E下的欧拉角(α，β，r)，三个绕轴旋转的旋转矩阵绕的是什么坐标系下的轴？和以下哪个旋转矩阵是等价的？

绕坐标系E下的x轴旋转α，绕坐标系E下的y轴旋转β，绕坐标系E下的z轴旋转r，三个矩阵的复合
绕坐标系E下的x轴旋转α，绕坐标系E在绕x轴旋转α后的新系E'下的y轴旋转β，绕坐标系E'在绕y轴旋转β后的新系E''下的z轴旋转r，三个矩阵的复合

事实上两种理解都可以，当然，两种转法并不等价，下面来解释这个问题；当我们讲到坐标系E下的欧拉角(α，β，r)时，这句话是有歧义的，我们必须定义旋转顺序，因为旋转顺序会影响旋转结果。

如果假设旋转顺序是先绕x轴再y轴再z轴，x-y-z，那么这个欧拉角对应的旋转矩阵是指上述的2所表示的旋转矩阵。

如果假设旋转顺序是先绕z轴再y轴再x轴，z-y-x，那么这个欧拉角对应的旋转矩阵是指上述的1所表示的旋转矩阵（当然也可以理解是2中的旋转"绕坐标系E下的z轴旋转r，绕坐标系E在绕z轴旋转r后的新系E'下的y轴旋转β，绕坐标系E'在绕y轴旋转β后的新系E''下的x轴旋转α，三个矩阵的复合"，这里是为了验证绕物体自身坐标系按z-y-x旋转和绕世界坐标系按 x-y-z旋转是等价的）；

下面来证明两种复合方式是相等的，为了方便证明先定义一些记号：

绕坐标系E下的x轴旋转α的旋转矩阵为Rx,
绕坐标系E下的y轴旋转β的旋转矩阵为Ry,
绕坐标系E下的z轴旋转r的旋转矩阵为Rz,

绕坐标系E下的z轴旋转r的旋转矩阵为Rr（Rr=Rz），
绕坐标系E在绕z轴旋转r后的新系E'下的y轴旋转β的旋转矩阵为Rb，
绕坐标系E'在绕y轴旋转β后的新系E''下的x轴旋转α的旋转矩阵为Ra，

将矩阵R的逆记作R~

求证：Rx*Ry*Rz = Rr*Rb*Ra

证明：
Rr = Rz 定义就是一样的，显然相等

Rb = Rr~*Ry*Rr 要得到绕坐标系E在绕z轴旋转r后的新系E'下的y轴旋转β的旋转矩阵为Rb，可以先应用Rr~这时可以视作在E下，然后使用E下的旋转Ry绕旧的y轴旋转，在应用Rr转回到E'

Ra = (Rr*Rb)~*Rx*(Rr*Rb) 理由同上

所以 Rr*Rb * Ra
         =Rr*Rb * (Rr*Rb)~*Rx*(Rr*Rb)
         =(Rr*Rb)* (Rr*Rb)~*Rx*(Rr*Rb)
         =Rx*(Rr*Rb)
         =Rx*(Rr*Rr~*Ry*Rr)
         =Rx*Ry*Rz =左边

这与DirectX在文档中对D3DXMatrixRotationYawPitchRoll的描述是一致的

D3DXMATRIX * D3DXMatrixRotationYawPitchRoll(
D3DXMATRIX *pOut,
FLOAT Yaw,     //绕y轴的转动角
FLOAT Pitch,   //绕x轴的转动角
FLOAT Roll     //绕z轴的转动角
);

The order of transformations is roll first, then pitch, then yaw. Relative to the object's local coordinate axis, this is equivalent to rotation around the z-axis, followed by rotation around the x-axis, followed by rotation around the y-axis.

万向节死锁

如视频https://www.bilibili.com/video/av9140886中所讲和上述旋转方式2的描述，在物体绕自身的坐标系旋转时，因为上一次的旋转，会导致物体自身的坐标系发生变化；欧拉角的三个轴的旋转顺序是确定的，当指定第二个旋转轴的旋转角度为90度时，在世界坐标系下观察这个旋转过程，会发现在实际旋转过程中，第一个旋转轴和第二个旋转轴正交，第三个旋转轴和第二个旋转轴正交，但第一个旋转轴和第三个旋转轴是重合的，此时三个万向节其中两个的轴发生重合时，会失去一个自由度的情形，从而导致万向节锁。

以上参考：

http://www.chenbinpeng.com/2017/01/23/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E8%A7%92%E4%B8%8E%E4%B8%87%E5%90%91%E8%8A%82%E6%AD%BB%E9%94%81/
https://www.jianshu.com/p/b796f88c8470
https://blog.csdn.net/ideallic/article/details/52869687
https://blog.csdn.net/xiaoyink/article/details/84670383
https://www.bilibili.com/video/av9140886

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