1.游戏规则

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子(至少取1个)。

每次有两种不同的取法，规则如下：
1.一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；

2.二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。

最后把石子全部取完者为胜者，假设双方都采取最好的策略，给定初始数量，你是否有必胜的把握？

2.分析

为方便描述，设f[x,y]表示两堆石子数量分别为x,y，且你先取。
1.f[x,y]=1表示必胜
2.f[x,y]=0表示必败
3.石堆没有顺序优先级，所以f[x,y]=f[y,x]

2.1首先分析3种特殊情况

1.两堆石子数量一样，两堆都取n个，必胜，得f[n,n]=1

2.只有一堆石子，一堆取n个，必胜，得f[n,0]=f[0,n]=1

3.石子数量为f[2,1]，只能取(1,0),(2,0),(1,1)，剩下石子为(1,1),(0,1),(1,0)对方都能胜，所以必败，得f[2,1]=f[1,2]=0，称此为奇异局势(必败局势)。

2.2列出前面的几种情况如下：

可以得到如下规律：

奇异局势有f[2,1],f[5,3],f[7,4],f[10,6]...，必败
蓝色为先取的数量，一次就可以将状态转为奇异局势，必胜
f[x+1,x],f[1,x],f[2,x]都可以转为f[2,1]，必胜
f[x+2,x],f[3,x],f[5,x]都可以转为f[5,3]，必胜
f[x+k,x]可以转化为f[x1,y1],x1-y1=k的奇异局势，而且f[x1,x],f[y1,x]也可以转化为f[x1,y1]

即奇异局势为f[x,y]，|x-y|=1，2，3，4，x,y为正整数，且x,y不能重复出现
结论：如果两个人都采取最优策略，面对非奇异局势，先拿必胜；面对奇异局势，后拿必胜。

3.理论推广

这个其实是经典的威佐夫博弈问题，但首先我们先介绍另一个定理，贝蒂定理。

3.1贝蒂定理

3.2回归威佐夫问题

3.3如何快速判断

3.4例题

poj1067：http://poj.org/problem?id=1067

3.5代码实现

const double q = (1 + sqrt(5.0)) / 2.0;bool isWythoff(int a, int b) {int t;if (a > b) t = a, a = b, b = t;return (int) ((b - a) * q) == a;}

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取石子游戏，威佐夫博弈的推理