LQR控制算法及matlab/simulink仿真

1. LQR控制算法介绍

1.1 全状态反馈控制

首先回顾一下全状态反馈控制器的模型：

假设一个线性系统的状态空间方程表示为：

在此，我们需要设计一个状态反馈控制器：

使得该线性系统达到期望的稳定性能。将 u=-kx 带入到状态空间方程可得：

由上式可知，引入状态反馈后，线性系统的传递函数的极点为行列式 A-Bk 的特征值。通过配置反馈矩阵 k ，可以使得系统达到所期望的状态。
那么如何选取传递函数的极点使系统的性能最好以及矩阵 k 如何计算？这就需要引入LQR控制了。

1.2 LQR控制推导

LQR的目标就是找到一组控制量，使得同时满足状态量足够小(系统达到稳定状态)，控制量足够小(控制量尽量小)。
引入代价函数：

其中，Q和R是需要设计的半正定矩阵和正定矩阵。
代价函数 J 需要达到最小值，那么在 t 趋近于无穷时，状态向量 x(t) 肯定趋近于0，即是达到了系统稳态；同理，t 趋近于无穷时，控制向量 u(t) 也会趋近于0，意味着，随着时间的推移，需要对系统施加的控制量会越来越小，意味着使用最小的控制量使得系统达到了最终控制目标。
那么Q和R矩阵的取值如何确定呢？
一般来说，为了方便观察各个系统状态量，Q和R选取对角阵。Q矩阵的某一个元素值增大，意味着这个元素值作用的系统状态量将以更快的速度衰减到0，比如，Q₁₁ 选取较大的值，那么 x₁₁ 将会很快衰减到0；另外一方面，R矩阵的某一个元素值增大，意味着这个元素值作用的控制量减小，控制器执行更少的动作，系统的状态衰减将变慢。所以，Q和R矩阵的选取要根据实际应用场景。
推导过程：

LQR控制结构图为：

2. 倒立摆模型仿真

本文以下仿真内容是对up主DR_CAN讲解内容的复现。
视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1RW411q7FDshare_source=copy_web
建议先观看视频学习。

2.1 倒立摆状态空间方程推导

2.2 开环仿真

图中x1积分模块初始值设置为5，表示初始角度为5°；仿真时间1s。

图中三条曲线分别代表x1,x2,u即角度，角速度，输入。倒立摆模型建立在小角度近似的基础上，故当角度增大到一定程度时，模型失效，对应波形图中x1和x2一直保持发散的趋势。

2.3 闭环LQR仿真

根据模型的A和B矩阵及自行设置的Q和R矩阵，在matlab命令行窗口利用lqr函数计算K矩阵。

根据K矩阵元素值构建闭环simulink模型。

引入状态反馈后，x1和x2最终保持收敛，达到稳定状态。

2.4 LQR对比仿真

更改Q和R矩阵，重新计算K矩阵。

将两个闭环模型分别封装成三输出的Subsysytem，进行对比仿真。

仿真时间3s。

黄色曲线代表Q=[100 0;0 1],R=0.01的仿真结果，蓝色曲线代表Q=[1 0;0 1],R=100的仿真结果。黄色曲线的x1和x2收敛速度更快，说明黄色曲线更关注收敛速度；蓝色曲线的u值更小且变化比较平滑，说明蓝色曲线更关注能耗问题。两条曲线最终都实现了状态的收敛即角度和角速度为零。
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