Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion

文章目录

Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion
- Physical background of diffusion processes
- Linear diffusion filtering
- Nonlinear Diffusion Filtering

Physical background of diffusion processes

当物质浓度、热量等物理量uuu存在较大差异时，倾向于通过扩散过程来达到平衡，即Fick’s law：
j=−D.∇u(1)j=-D.\nabla u\tag{1} j=−D.∇u(1)
其中jjj为扩散通量(Diffusion Flux)，表示单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物理流量，与该界面处的扩散物理量的梯度成正比，梯度越大，扩散通量越大，如果是单方向扩散过程DDD表示扩散方向(Diffusion Factor)，为正，如果是多方向扩散过程DDD表示扩散张量(Diffusion Tensor)，为正定对称阵，−-−号表示扩散方向为梯度的反方向。
参见顾樵.《数学物理方法》中对散度的定义即是单位面积的通量，因此可以将上式表示为：
∂tu=−divj=div(D.∇u)=Δu(2)\partial _{t}u=-div j=div(D.\nabla u)=\Delta u\tag{2} ∂tu=−divj=div(D.∇u)=Δu(2)
其中$\nabla 为梯度算法，为梯度算法，为梯度算法，\Delta为拉普拉斯算子，为拉普拉斯算子，为拉普拉斯算子，div为散度算子，为散度算子，为散度算子，t表示时间，当表示时间，当表示时间，当u表示热量时，即为热方程，当表示热量时，即为热方程，当表示热量时，即为热方程，当u表示图像灰度值时，如果扩散张量表示图像灰度值时，如果扩散张量表示图像灰度值时，如果扩散张量D保持全图一致，则称此时的图像滤波器为线性滤波器，如果扩散张量保持全图一致，则称此时的图像滤波器为线性滤波器，如果扩散张量保持全图一致，则称此时的图像滤波器为线性滤波器，如果扩散张量D$随图像某维度信息的变化而变化的话，则称此时的图像滤波器为非线性滤波器。

注：拉普拉斯算子即是梯度的散度

Linear diffusion filtering

偏微分方程在图像滤波过程中最简单、研究最为深入的就是线性扩散滤波，最值得关注的一点是线性扩散滤波与高斯卷积之间的联系。首先一个基本的结论是线性扩散滤波，也即是线性各向同性扩散，等价于高斯卷积。
定义f∈R2f\in R^2f∈R2为灰度图像，绝对可积，最常用来对fff进行平滑的方式即是用高斯滤波核Kσ(x,y)K_{\sigma}(x,y)Kσ(x,y)与图像fff进行卷积：
(Kσ∗f)(x):=∫R2Kσ(x−y)f(y)dyKσ(x):=12πσ2⋅exp⁡(−∣x∣22σ2)(3)\begin{aligned} \left(K_{\sigma} * f\right)(x)&:=\int_{\mathbb{R}^{2}} K_{\sigma}(x-y) f(y) d y\\ K_{\sigma}(x)&:=\frac{1}{2 \pi \sigma^{2}} \cdot \exp \left(-\frac{|x|^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) \end{aligned}\tag{3} (Kσ∗f)(x)Kσ(x):=∫R2Kσ(x−y)f(y)dy:=2πσ21⋅exp(−2σ2∣x∣2)(3)
由于fff是绝对可积的，那么我们转到频域中来观测上面的高斯卷积到底对图像带来了什么样的影响：
(Ff)(ω):=∫R2f(x)exp⁡(−i⟨ω,x⟩)dx(4)(\mathcal{F} f)(\omega):=\int_{\mathbb{R}^{2}} f(x) \exp (-i\langle\omega, x\rangle) d x\tag{4} (Ff)(ω):=∫R2f(x)exp(−i⟨ω,x⟩)dx(4)
由卷积定理：
(F(Kσ∗f))(ω)=(FKσ)(ω)⋅(Ff)(ω)(FKσ)(ω)=exp⁡(−∣ω∣22/σ2)(5)\begin{aligned} &\left(\mathcal{F}\left(K_{\sigma} * f\right)\right)(\omega)=\left(\mathcal{F} K_{\sigma}\right)(\omega) \cdot(\mathcal{F} f)(\omega)\\ &\left(\mathcal{F} K_{\sigma}\right)(\omega)=\exp \left(-\frac{|\omega|^{2}}{2 / \sigma^{2}}\right) \end{aligned}\tag{5} (F(Kσ∗f))(ω)=(FKσ)(ω)⋅(Ff)(ω)(FKσ)(ω)=exp(−2/σ2∣ω∣2)(5)
即在空域内用高斯滤波核对图像进行卷积相当于频域内用高斯函数作为传递函数对高频信号进行衰减。
对于任意有界图像，定义线性扩散过程：
∂tu=Δuu(x,0)=f(x)(6)\begin{aligned} \partial_{t} u &=\Delta u \\ u(x, 0) &=f(x) \end{aligned}\tag{6} ∂tuu(x,0)=Δu=f(x)(6)
式的解即为：
u(x,t)={f(x)(t=0)(K2t∗f)(x)(t>0)(7)u(x, t)=\left\{\begin{array}{ll} f(x) & (t=0) \\ \left(K_{\sqrt{2 t}} * f\right)(x) & (t>0) \end{array}\right.\tag{7} u(x,t)={f(x)(K2t∗f)(x)(t=0)(t>0)(7)
注：此方程的求解过程借助傅里叶变换，将线性偏微分方程转化为常微分方程，具体推导可以参考《Anisotropic Diffusion in Image Processing》

Nonlinear Diffusion Filtering

高斯卷积的计算简单，但存在模糊图像边缘、纹理等细节信息的缺点，为了更好的保留图像的结构信息，Perona-Malik提出了一种各向异性扩散，降低跨边缘位置的扩散率，将扩散过程定义为：
∂tu=div⁡(g(∣∇u∣)∇u)(8)\partial_{t} u=\operatorname{div}\left(g\left(|\nabla u|\right) \nabla u\right)\tag{8} ∂tu=div(g(∣∇u∣)∇u)(8)
其中g(∣∇u∣)g(|\nabla u|)g(∣∇u∣)为扩散系数，也称边缘停止函数(Edge-Stopping Function)，是梯度的单调递减函数，常用的扩散系数有：
g(∣∇u∣)=e−∇uk2g(∣∇u∣)=11+∇uk2g(|\nabla u|) = e^{-\frac{\nabla u}{k}^2}\\ g(|\nabla u|) = \frac{1}{1+\frac{\nabla u}{k}^2} g(∣∇u∣)=e−k∇u2g(∣∇u∣)=1+k∇u21
离散图像中拉普拉斯算子可以近似表示为：
Δu=uxx+uyy≈Ul−1,mn−2Ul,mn+Ul+1,mn(Δx)2+Ul,m−1n−2Ul,mn+Ul,m+1n(Δy)2(9)\Delta u=u_{x x}+u_{y y} \approx \frac{U_{l-1, m}^{n}-2 U_{l, m}^{n}+U_{l+1, m}^{n}}{(\Delta x)^{2}}+\frac{U_{l, m-1}^{n}-2 U_{l, m}^{n}+U_{l, m+1}^{n}}{(\Delta y)^{2}}\tag{9} Δu=uxx+uyy≈(Δx)2Ul−1,mn−2Ul,mn+Ul+1,mn+(Δy)2Ul,m−1n−2Ul,mn+Ul,m+1n(9)
图像当中Δx=Δy=1\Delta x = \Delta y = 1Δx=Δy=1，因此上式化简为：
Δu≈(Ul−1,mn−Ul,mn)+(Ul+1,mn−Ul,mn)+(Ul,m−1n−Ul,mn)+(Ul,m+1n−Ul,mn)(10)\Delta u \approx\left(U_{l-1, m}^{n}-U_{l, m}^{n}\right)+\left(U_{l+1, m}^{n}-U_{l, m}^{n}\right)+\left(U_{l, m-1}^{n}-U_{l, m}^{n}\right)+\left(U_{l, m+1}^{n}-U_{l, m}^{n}\right)\tag{10} Δu≈(Ul−1,mn−Ul,mn)+(Ul+1,mn−Ul,mn)+(Ul,m−1n−Ul,mn)+(Ul,m+1n−Ul,mn)(10)
对于连续信号u(x,y,t)u(x,y,t)u(x,y,t)表示图像点(x,y)(x,y)(x,y)处的像素值随时间ttt的变化，对于离散信号u(x,y,t)u(x,y,t)u(x,y,t)表示图像点(x,y)(x,y)(x,y)处的像素值随迭代次数ttt的变化，用麦克劳林展开对u(x,y,t)u(x,y,t)u(x,y,t)进行线性近似：
u(x,y,t)=u(x,y,t−1)+(∂u∂t)+Rn(t)(11)u(x,y,t) = u(x,y,t-1) + (\frac{\partial u}{\partial t})+R_{n}(t)\tag{11} u(x,y,t)=u(x,y,t−1)+(∂t∂u)+Rn(t)(11)
将式(10)代入式(11)即有：
Ul,mn+1=Ul,mn+λ(g(∣Ul−1,mn−Ul,mn∣)(Ul−1,mn−Ul,mn)+g(∣Ul+1,mn−Ul,mn∣)(Ul+1,mn−Ul,mn)+g(∣Ul,m−1n−Ul,mn∣)(Ul,m−1n−Ul,mn)+g(∣Ul,m+1n−Ul,mn∣)(Ul,m+1n−Ul,mn)(12)\begin{aligned} U_{l, m}^{n+1}=U_{l, m}^{n}+\lambda &\left(g\left(\left|U_{l-1, m}^{n}-U_{l, m}^{n}\right|\right)\left(U_{l-1, m}^{n}-U_{l, m}^{n}\right)\right.\\ &+g\left(\left|U_{l+1, m}^{n}-U_{l, m}^{n}\right|\right)\left(U_{l+1, m}^{n}-U_{l, m}^{n}\right) \\ &+g\left(\left|U_{l, m-1}^{n}-U_{l, m}^{n}\right|\right)\left(U_{l, m-1}^{n}-U_{l, m}^{n}\right) \\ &+g\left(\left|U_{l, m+1}^{n}-U_{l, m}^{n}\right|\right)\left(U_{l, m+1}^{n}-U_{l, m}^{n}\right) \end{aligned}\tag{12} Ul,mn+1=Ul,mn+λ(g(∣∣Ul−1,mn−Ul,mn∣∣)(Ul−1,mn−Ul,mn)+g(∣∣Ul+1,mn−Ul,mn∣∣)(Ul+1,mn−Ul,mn)+g(∣∣Ul,m−1n−Ul,mn∣∣)(Ul,m−1n−Ul,mn)+g(∣∣Ul,m+1n−Ul,mn∣∣)(Ul,m+1n−Ul,mn)(12)
其中λ\lambdaλ为平滑速率，取值越大图像越平滑，一般取0<λ<1/40<\lambda<1/40<λ<1/4，与最终滤波结果相关的参数有λ、σ、iteration\lambda、\sigma、iterationλ、σ、iteration，σ\sigmaσ越大、iterationiterationiteration越大图像越平滑

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