１、回归方程的显著性检验

(1) 回归平方和与剩余平方和

建立回归方程以后, 回归效果如何呢？因变量

与自变量

是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量

取值的变化规律。

的每次取值

是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值

的变差大小, 常用该次观侧值

与次观测值的平均值的差

(称为离差)来表示, 而全部

次观测值的总变差可由总的离差平方和

,

其中:

称为回归平方和, 是回归值

与均值

之差的平方和, 它反映了自变量

的变化所引起的

的波动, 其自由度

(为自变量的个数)。

称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值

与回归值

之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度

。总的离差平方和的自由度为

。

如果观测值给定, 则总的离差平方和

是确定的, 即

是确定的, 因此

大则

小, 反之,

小则

大, 所以

与

都可用来衡量回归效果, 且回归平方和

越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和

越小回归效果越显著, 如果

＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果

大, 则线性回归效果不好。

(2) 复相关系数

为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标

, (3.1)

或

, (3.2)

称为复相关系数。因为回归平方和

实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此

就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此

表示全部自变量与因变量

的相关程度。显然

。复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。但应注意,

与回归方程中自变量的个数

及观测组数

有关, 当

相对于

并不很大时, 常有较大的

值, 因此实际计算中应注意

与

的适当比例, 一般认为应取

至少为

的５到10倍为宜。

(3)

检验

要检验

与

是否存在线性关系, 就是要检验假设

, (3.3)

当假设

成立时, 则与

无线性关系, 否则认为线性关系显著。检验假设

应用统计量

, (3.4)

这是两个方差之比, 它服从自由度为

及

的

分布, 即

, (3.5)

用此统计量

可检验回归的总体效果。如果假设

成立, 则当给定检验水平α下, 统计量

应有

≤

, (3.6)

对于给定的置信度α, 由

分布表可查得

的值, 如果根据统计量算得的

值为

, 则拒绝假设

, 即不能认为全部

为O, 即

个自变量的总体回归效果是显著的, 否则认为回归效果不显著。

利用

检验对回归方程进行显著性检验的方法称为方差分析。上面对回归效果的讨论可归结于一个方差分析表中, 如表3.1。

表3.1 方差分析表

来 源

平方和

自由度

方 差

方差比

回 归

剩 余

总 计

根据

与

的定义, 可以导出

与

的以下关系:

,

。

利用这两个关系式可以解决

值多大时回归效果才算是显著的问题。因为对给定的检验水平α, 由

分布表可查出

的临界值

, 然后由

即可求出

的临界值

:

, (3.7)

当

时, 则认为回归效果显著。

例3.1 利用方差分析对例2.1的回归方程进行显著性检验。

方差分析结果见表3.2。

表3.2

来 源

平方和

自由度

方 差

方差比

回 归

剩 余

总 计

取检验水平α＝0.05, 查

分布表得

, 而

, 所以例2.1的回归方程回归效果是显著的。

前面讨论了回归方程中全部自变量的总体回归效果, 但总体回归效果显著并不说明每个自变量

对因变量

都是重要的, 即可能有某个自变量

对

并不起作用或者能被其它的

的作用所代替, 因此对这种自变量我们希望从回归方程中剔除, 这样可以建立更简单的回归方程。显然某个自变量如果对

作用不显著, 则它的系数

就应取值为0, 因此检验每个自变量

是否显著, 就要检验假设:

,

, (3.8)

(1)

检验:

在

假设下, 可应用

检验:

,

, (3.9)

其中

为矩阵

的对角线上第

个元素。

对给定的检验水平α, 从

分布表中可查出与α对应的临界值

, 如果有

, 则拒绝假设

, 即认为

与0有显著差异, 这说明

对

有重要作用不应剔除; 如果有

则接受假设

, 即认为

成立, 这说明

对

不起作用, 应予剔除。

(2)

检验:

检验假设

, 亦可用服从自由度分别为1与

的

分布的统计量

, (3.10)

其中

为矩阵

的主对角线上第

个元素。对于给定的检验水平α, 从

分布表中可查得临界

, 如果有

, 则拒绝假设

, 认为

对

有重要作用。如果

, 则接受假设

, 即认为自变量

对

不起重要作用, 可以剔除。一般一次

检验只剔除一个自变量, 且这个自变量是所有不显著自变量中

值最小者, 然后再建立回归方程, 并继续进行检验, 直到建立的回归方程及各个自变量均显著为止。

最后指出, 上述对各自变量进行显著性检验采用的两种统计量

与

实际上是等价的, 因为由(3.9)式及(3.10)式知, 有

(3.11)

例3.2 对例2.1的回归方程各系数进行显著性检验。

经计算:

,

于是

,

其中

＝0.002223,

＝0.004577。由(3.7)式知

,

,

查

分布表得,

, 因为

,

, 所以两个自变量

及

都是显著的。又由

, 说明体长

比胸围

对体重

的影响更大。

如果应用

检验, 查

分布表有

, 又由

,

,

因为

,

, 因此

及

都是显著的, 均为重要变量, 应保留在回归方程中。

(3) 偏回归平方和

检验某一自变量是否显著, 还可应用偏回归平方和进行检验。

个自变量

的回归平方和为

,

如果自

个自变量中去掉

, 则剩下的

个自变量的回归平方和设为

, 并设

,

则

就表示变量

在回归平方和

中的贡献,

称为

的偏回归平方和或贡献。可以证明

, (3.12)

偏回归平方和

越大, 说明

在回归方程中越重要, 对

的作用和影响越大, 或者说

对回归方程的贡献越大。因此偏回归平方和也是用来衡量每个自变量在回归方程中作用大小(贡献大小)的一个指标。

例如在例2.1中,

和

的偏回归平方和分别为

,

,

, 说明在回归方程中

的作用比

大。

又如在例2.2中

及

的偏回归平方和分别为:

,

,

,

,

的值最小, 即

在回归方程中所起的作用最小,

最大, 说明

在回归方程中所起的作用最大。

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