协整关系

协整(Cointegration)理论是恩格尔(Engle)和格兰杰(Granger)在1978年提出的。平稳性是进行时间序列分析的一个很重要的前提，很多模型都是基于平稳下进行的，而现实中，很多时间序列都是非平稳的，所以协整是从分析时间序列的

非平稳性

入手的。

协整的内容是：

设序列

X

是 d 阶单整的，记为

X

∼

I

(

d

)

，如果存在一个非零向量

β

使得

Y

=

β

X

t

∼

I

(

d

−

b

)

，则称

X

t

具有 d, b 阶协整关系，记为

X

t

∼

C

I

(

d

,

b

)

，则

β

称为协整向量。

特别当

X

和

Y

都是一阶单整时，一般而言,

X

和

Y

的线性组合仍然是一阶单整的，但是对于某些非零向量

β

，会使得

Y

−

β

X

∼

I

(

0

)

，此时非零向量

β

称作协整向量，其中

β

中的每一项为 t 时刻的协整系数。通俗点说，如果两组序列都是非平稳的，但是经过一阶差分后是平稳的，且这两组序列经过某种线性组合也是平稳的，则它们之间就存在协整关系。

协整理论的意义在于：

1、首先，因为或许单个序列是非平稳的，但是通过协整我们可以建立起两个或者多个序列之间的平稳关系，进而充分应用平稳性的性质。

2、其次，可以避免伪回归。如果一组非平稳的时间序列不存在协整关系，那么根据它们构造的回归模型就可能是伪回归。

3、区别变量之间长期均衡关系和短期波动关系。

非平稳序列很容易出现伪回归，而协整的意义就是

检验它们的回归方程所描述的因果关系是否是伪回归的

，所以常用的协整检验有两种：Engel-Granger 两步协整检验法和 Johansen 协整检验法，它们二者的区别在于 Engler-Granger 采用的是一元方程技术，而 Johansen 则是多元方程技术，所以Johansen 协整检验法受限更小。

Engel-Granger 两步协整检验法

EG检验的方法实际上就是对回归方程的残差进行

单位根检验

。

因为从协整的角度来看，因变量能被自变量的线性组合所解释，说明二者之间具有稳定的均衡关系；因变量不能被自变量解释的部分就构成了一个残差序列，这个残差序列不应该是序列相关的，也就是说残差应该是平稳的。所以EG检验一组变量是否具有协整关系也就是检验残差序列是否是平稳的。

Engle-Granger提出的两步法的步骤如下：

1、用 OLS 估计协整回归方程，从而得到协整系数：

2、检验残差项的平稳性，如果残差平稳，则说明 X 和 Y 是协整的，否则不成立。对残差项的平稳性的检验通常用 ADF 检验。

Johansen Test 协整检验法

当协整检验的VAR模型中如果含有多个滞后项时，如下：

采用EG检验就不能找出两个以上的协整向量了，此时可以用Johansen Test 来进行协整检验，它的思想是采用极大似然估计来检验多变量之间的协整关系。

用 python 代码进行协整检验

我们从 rb 期货中选择两个品种进行分析，具体的品种根据相关性选择，后期会另外补充。

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

a_price = pd.read_csv('./CloseA.csv')[:200]

b_price = pd.read_csv('./CloseB.csv')[:200]

fig = plt.figure()

ax = fig.add_subplot(111)

ax.plot(range(len(a_price)), a_price)

ax.plot(range(len(b_price)), b_price)

ax.legend(['a','b'])

plt.show()

从图中看，两个品种具有很强的相关性，并且都是不稳定的。

下面，我们通过ADF检验来看一下，两个序列是否是一阶单整的：

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

a_price = np.reshape(a_price.values, -1)

a_price_diff = np.diff(a_price)

b_price = np.reshape(b_price.values, -1)

b_price_diff = np.diff(b_price)

print(adfuller(a_price_diff))

print(adfuller(b_price_diff))

(-15.436034211511204, 2.90628134201655e-28, 0, 198, {'1%': -3.4638151713286316, '5%': -2.876250632135043, '10%': -2.574611347821651}, 1165.1556545612445)

(-14.259156751414892, 1.4365811614283181e-26, 0, 198, {'1%': -3.4638151713286316, '5%': -2.876250632135043, '10%': -2.574611347821651}, 1152.4222884399824)

从结果来看，两个序列都满足一阶单整，下面来判断两者是否存在协整关系。statsmodels 模块中有

coint

函数可以用来检测协整关系，它的内部实现就是基于 EG 协整检验的。

coint 函数如下：

def coint(y0, y1, trend='c', method='aeg', maxlag=None, autolag='aic',

return_results=None):

"""Test for no-cointegration of a univariate equation

The null hypothesis is no cointegration. Variables in y0 and y1 are

assumed to be integrated of order 1, I(1).

This uses the augmented Engle-Granger two-step cointegration test.

Constant or trend is included in 1st stage regression, i.e. in

cointegrating equation.

**Warning:** The autolag default has changed compared to statsmodels 0.8.

In 0.8 autolag was always None, no the keyword is used and defaults to

'aic'. Use `autolag=None` to avoid the lag search.

Parameters

----------

y1 : array_like, 1d

first element in cointegrating vector

y2 : array_like

remaining elements in cointegrating vector

trend : str {'c', 'ct'}

trend term included in regression for cointegrating equation

* 'c' : constant

* 'ct' : constant and linear trend

* also available quadratic trend 'ctt', and no constant 'nc'

method : string

currently only 'aeg' for augmented Engle-Granger test is available.

default might change.

maxlag : None or int

keyword for `adfuller`, largest or given number of lags

autolag : string

keyword for `adfuller`, lag selection criterion.

* if None, then maxlag lags are used without lag search

* if 'AIC' (default) or 'BIC', then the number of lags is chosen

to minimize the corresponding information criterion

* 't-stat' based choice of maxlag.  Starts with maxlag and drops a

lag until the t-statistic on the last lag length is significant

using a 5%-sized test

return_results : bool

for future compatibility, currently only tuple available.

If True, then a results instance is returned. Otherwise, a tuple

with the test outcome is returned.

Set `return_results=False` to avoid future changes in return.

Returns

-------

coint_t : float

t-statistic of unit-root test on residuals

pvalue : float

MacKinnon's approximate, asymptotic p-value based on MacKinnon (1994)

crit_value : dict

Critical values for the test statistic at the 1 %, 5 %, and 10 %

levels based on regression curve. This depends on the number of

observations.

Notes

-----

from statsmodels.tsa.stattools import coint

print(coint(a_price, b_price))

(-3.9532731584015215, 0.008362293067615467, array([-3.95232129, -3.36700631, -3.06583125]))

从返回结果可以看出 t-statistic 值要小于1%的置信度，所以有99%的把握拒绝原假设，而且p-value的值也比较小，所以说存在协整关系。

Ref :

《统计套利：理论与实战》金志宏