阻抗和导纳

阻抗和导纳的概念以及其线性变换是一端口正弦稳态电路分析的重要内容。记如下一端口的电压和电流分别为U=U∠ΦuU=U∠Φ_uU=U∠Φu 和I=I∠ΦiI=I∠Φ_iI=I∠Φi

则U与I的比值即为阻抗
Z=U⃗I⃗=UI∠(Φu−Φi)=∣Z∣∠ΦzZ=\frac{\vec{U}}{\vec{I}}=\frac{U}{I}\angle{(Φ_u-Φ_i)}=|Z|∠Φ_zZ=IU=IU∠(Φu−Φi)=∣Z∣∠Φz
由此，Z是一个复数，称作复阻抗，∣Z∣=UI|Z|=\frac{U}{I}∣Z∣=IU为阻抗模，辐角Φz=Φu−ΦiΦ_z=Φ_u-Φ_iΦz=Φu−Φi为阻抗角。代数形式如下：
Z=R+jXZ=R+jXZ=R+jX

因此，电路可以用R和jX串联替代（如上第二个图）。
此时，若X>0，即Φ_z>0,电路表现为感性，可以用等效电感代替，有：
Leqw=XL_{eq}w=XLeqw=X
若X<0，即Φ_z<0,电路表现为容性，可以用等效电容代替，有：
1Ceqw=∣X∣\frac{1}{C_{eq}w}=|X|Ceqw1=∣X∣

同理可得相应的导纳关系
Y=I⃗U⃗=IU∠(Φi−Φu)Y=\frac{\vec{I}}{\vec{U}}=\frac{I}{U}∠(Φ_i-Φ_u)Y=UI=UI∠(Φi−Φu)
代数形式：
Y=G+jBY=G+jBY=G+jB

G>0，即Φ_Y>0，为容性导纳，B可以用等效电容代替：
Ceq=BwC_{eq}=\frac{B}{w}Ceq=wB
G<0，即Φ_Y<0，为感性导纳，B可以用等效电感代替：
Leq=1∣B∣wL_{eq}=\frac{1}{|B|w}Leq=∣B∣w1

此外有：

φz=0φ_z=0φz=0	φY=0φ_Y=0φY=0
ZR=RZ_R=RZR=R	YG=GY_G=GYG=G

φz=90°φ_z=90°φz=90°	φY=−90°φ_Y=-90°φY=−90°
ZL=jwLZ_L=jwLZL=jwL	YL=−j1wLY_L=-j\frac{1}{wL}YL=−jwL1

φz=−90°φ_z=-90°φz=−90°	φY=90°φ_Y=90°φY=90°
Zc=−j1wCZ_c=-j\frac{1}{wC}Zc=−jwC1	Yc=jwCY_c=jwCYc=jwC

PLUS: ZY=1

正弦稳态电路的分析

电路的基本定理和电路方程是分析的关键
即
KCL: ∑I⃗=0\sum{\vec{I}}=0∑I=0
KVL: ∑U⃗=0\sum{\vec{U}=0}∑U=0
VCR: U⃗=I⃗R\vec{U}=\vec{I}RU=IR 或 I⃗=U⃗Y\vec{I}=\vec{U}YI=UY
并且可以借助相量图求解

以下摘录邱关源电路第五版第九章例题

解：
由题可设 U_s=10∠-30°，I_s=3∠-30°，1/wC=1, wL=1
此处注意电源均应化为余弦函数
法一：结点法求解
(2j−j)Un1−(−j)Un2=jUS(2j-j)\boldsymbol{U_{n1}}-(-j)\boldsymbol{U_{n2}}=j\boldsymbol{U_S}(2j−j)Un1−(−j)Un2=jUS
−jUn1−(j−j)Un2=−Is-j\boldsymbol{U_{n1}-(j-j)\boldsymbol{U_{n2}}=-I_s}−jUn1−(j−j)Un2=−Is
IL=Un1−Un2j\boldsymbol{I_L}=\frac{\boldsymbol{U_{n1}-U_{n2}}}{j}IL=jUn1−Un2
解方程可得IL=jUs+2Is\boldsymbol{I_L}=j\boldsymbol{U_s}+2\boldsymbol{I_s}IL=jUs+2Is

法二：网孔法（顺时针）
−2jI1−(−j)I2=Us-2j\boldsymbol{I_1}-(-j)\boldsymbol{I_2}=\boldsymbol{U_s}−2jI1−(−j)I2=Us
−jI1+(j−2j)I2=0-j\boldsymbol{I_1}+(j-2j)\boldsymbol{I_2}=0−jI1+(j−2j)I2=0
I3=Is\boldsymbol{I_3=I_s}I3=Is
I2=IL\boldsymbol{I_2=I_L}I2=IL
法三：叠加定理求解
U_s单独作用
IL′=jUs\boldsymbol{I_L'}=j\boldsymbol{U_s}IL′=jUs
I_s单独作用
IL′′=2Is\boldsymbol{I_L''}=2\boldsymbol{I_s}IL′′=2Is
法四：
戴维宁等效电路求解
端口1-2的开路电压
Uoc=12Us−jIs\boldsymbol{U_{oc}}=\frac{1}{2}\boldsymbol{U_s}-j\boldsymbol{I_s}Uoc=21Us−jIs
等效电阻为
Req=−1.5ΩR_{eq}=-1.5ΩReq=−1.5Ω
于是可以求得
IL=Uocj−1.5j\boldsymbol{I_L}=\frac{\boldsymbol{U_{oc}}}{j-1.5j}IL=j−1.5jUoc
最后有
iL=102cos(2t+30°)Ai_L=10\sqrt{2}cos(2t+30°)AiL=102cos(2t+30°)A

正弦稳态电路的功率

首先给出周期量的平均功率的定义
P=1T∫0tpdt=1T∫0tuidtP=\frac{1}{T}\int_0^tpdt=\frac{1}{T}\int_0^tuidtP=T1∫0tpdt=T1∫0tuidt

一端口功率分析

以下以RLC无源一端口为例分析
设I=Imcos(wt)I=I_mcos(wt)I=Imcos(wt)，首先看R、L、C所作瞬时功率
对R，其吸收的瞬时功率为：
p=Ri2=RIm2cos2(wt)=RI2(1+cos(2wt))p=Ri^2=RI_m^2cos^2(wt)=RI^2(1+cos(2wt))p=Ri2=RIm2cos2(wt)=RI2(1+cos(2wt))

于是平均功率
PR=1T∫0TRI2(1+cos(2wt))dt=RI2P_R=\frac{1}{T}\int_0^TRI^2(1+cos(2wt))dt=RI^2PR=T1∫0TRI2(1+cos(2wt))dt=RI2

对L，其吸收的瞬时功率为：
p=ui=iLdidt=−Im2wLsin(2wt)p=ui=iL\frac{di}{dt}=-I_m^2wLsin(2wt)p=ui=iLdtdi=−Im2wLsin(2wt)
于是平均功率为
PL=−1T∫0TIm2wLsin(2wt)dt=0P_L=-\frac{1}{T}\int_0^TI_m^2wLsin(2wt)dt=0PL=−T1∫0TIm2wLsin(2wt)dt=0
也就是说，www为原来的两倍，电感在一个周期内吸收-释放能量两次，平均功率为0

对C，其释放的瞬时功率为
p=ui=i1C∫idt=1wCIm2sin(2wt)p=ui=i\frac{1}{C}\int{i}dt=\frac{1}{wC}I_m^2sin(2wt)p=ui=iC1∫idt=wC1Im2sin(2wt)
于是平均功率为
PC=1T∫0T1wCIm2sin(2wt)dt=0P_C=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{1}{wC}I_m^2sin(2wt)dt=0PC=T1∫0TwC1Im2sin(2wt)dt=0

以上分析说明了电感和电容的非耗能特性

于是在不含源的R、L、C串联一端口网络中，总的瞬时功率为
p=pR+pL+pC=RI2(1+cos(2wt))−(wL−1wC)Im2sin(2wt)p=p_R+p_L+p_C=RI^2(1+cos(2wt))-(wL-\frac{1}{wC})I_m^2sin(2wt)p=pR+pL+pC=RI2(1+cos(2wt))−(wL−wC1)Im2sin(2wt)
式中第一项为瞬时功率的不可逆部分，为电路的吸收功率，第二项为可逆部分，可以看出电感电容的吸收和发出功率相反，相互补充抵消（功率互补），不足以抵消部分与外电路往复交互，即为电路的无功功率。
再根据阻抗三角形：
R=∣Z∣cosφR=|Z|cosφR=∣Z∣cosφ、wL−1wC=∣Z∣sinφwL-\frac{1}{wC}=|Z|sinφwL−wC1=∣Z∣sinφ、U=∣Z∣IU=|Z|IU=∣Z∣I
带入p并求其平均（周期上积分）可得如下结论

结论

有功功率：P=UIcosφz（W）P=UIcosφ_z （W）P=UIcosφz（W）
无功功率：Q=UIsinφz（var）Q=UIsinφ_z （var）Q=UIsinφz（var）
视在功率: S=UI（V⋅A）S=UI （V·A）S=UI（V⋅A）

(电感和电容（储能元件）产生的有功功率为0)

功率因数

在工程上，功率因数为一非常重要的概念。它是衡量传输电能效果的一个非常重要的指标，理想状态下为1（即无功功率Q=0）。
λ=cosφz≤1λ=cosφ_z≤1λ=cosφz≤1
λ=SPλ=\frac{S}{P}λ=PS

含源一端口

独立源参与有功功率和无功功率的交换，并且功率因数失去实际意义。
设含源一端口的电压电流分别为
i=Imcos(wt+Φi)i=I_mcos(wt+Φ_i)i=Imcos(wt+Φi)
u=Umcos(wt+Φi+φ)u=U_mcos(wt+Φ_i+φ)u=Umcos(wt+Φi+φ)
其中φ=Φu−Φiφ=Φ_u-Φ_iφ=Φu−Φi

仍然有
P=UIcosφP=UIcosφP=UIcosφ、Q=UIsinφQ=UIsinφQ=UIsinφ、S=UIS=UIS=UI
此时，φ不为阻抗角。
并且对整个电路功率守恒
∑P=0\sum{P}=0∑P=0
∑Q=0\sum{Q}=0∑Q=0
注：一般没有∑S=0\sum{S}=0∑S=0

复功率

复功率表达三种功率之间的的关系，下面直接给出定义式：

此处I∗I^*I∗为III的共轭复数
此外还有

对整个电路

最大功率传输

根据戴维宁等效电路求解，可等效为以下电路

设Zeq=Req+jXeq，Z=R+jXZ_eq=R_eq+jX_eq，Z=R+jXZeq=Req+jXeq，Z=R+jX
则电路的吸收功率为
P=Uoc2R(R+Req)2+(X+Xeq)2P=\frac{U_{oc}^2R}{(R+R_{eq})^2+(X+X_{eq})^2}P=(R+Req)2+(X+Xeq)2Uoc2R
当R、X可以随意变动而其他参数不变时P最大的条件为
{X+Xeq=0ddR[R(R+Req)2]=0\begin{cases}X+X_{eq}=0 \\ \frac{d}{dR}[\frac{R}{(R+R_eq)^2}]=0 \end{cases}{X+Xeq=0dRd[(R+Req)2R]=0
解得
{X=−XeqR=Req\begin{cases} X=-X_{eq} \\ R=R_{eq}\end{cases}{X=−XeqR=Req
此时
Z=Zeq∗Z=Z_{eq}^*Z=Zeq∗
最大功率为
Pmax=Uoc24ReqP_{max}=\frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}Pmax=4ReqUoc2
当用诺顿等效电路时有
Y=Yeq∗Y=Y_{eq}^*Y=Yeq∗

参考：
邱关源电路第五版

欢迎指正，侵删

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