正弦稳态电路分析

一、正弦电压与电流
- 1. 正弦量的三要素
- 2. 相位差
- 3. 有效值
二、正弦量的相量表示
- 1. 复数及其运算
- - 1.加减法
  - 2.乘除法
- 2. 正弦量与相量
三、电路定律的相量形式
- 1. 无源元件的VCR相量形式
- 2. KCL与KVL的相量形式
四、电路的相量模型
- 1. 阻抗与导纳
- 2. 正弦稳态电路相量模型
五、正弦稳态电路的相量分析法
六、正弦稳态电路的功率与功率传输
- 1. 单口网络的功率
- - 1、瞬时功率
  - 2、平均功率
  - 3、无功功率
  - 4、单口网络的视在功率
  - 5、P、S、Q的关系
- 2. 最大功率传输定理
- - 1、共轭匹配
  - 2、等模匹配

一、正弦电压与电流

正弦信号：按照正弦或余弦函数规律变化的信号。
正弦量：按照正弦规律随时间变化的物理量统称为正弦量，如随时间按正弦规律变化的电压称为正弦电压，类似的还有正弦电流。正弦电流通常称为交流电流),由正弦电流或电压源驱动的电路，并且各处电压、电流都是同频率的正弦量，这样的电路称为正弦交流电路。
在描述正弦量使用的函数是 cos 函数。

1. 正弦量的三要素

其实就是描述一个cos函数需要哪些参数其实就三个

i(t) = I_m cos(ωt + Ψ)

振幅：I_m 反映信号的强度
角频率：ω 反映周期变化
初相位：Ψ 反映信号移位情况

从波形看出：若确定了正弦电流信号的振幅 I_m、角频率(频率）ω和初相位 Ψ,就可以画出其波形，写出其数学表达式。因此，振幅、角频率（或者频率）和初相位称为正弦量的三要素。

经典例题：

2. 相位差

相位差：两个正弦量相位之间的差值

在描述正弦稳态电路时，最基本的就是电压电流，这两者之间的相位差关系到之间的信号先后、功率问题

u(t) = U_m cos(ωt + Ψ_u)
i(t) = I_m cos(ωt + Ψ_i)

则两者的相位差就是：Ψ = Ψ_u - Ψ_i 【这个 Ψ 取值是正值在 0<= Ψ <=π】

相位差的量值反映出u(t)和i(t)在时间上的相对超前或滞后关系。
(1)当 Ψ > 0时，表明u(t)超前于电流i(t),超前的角度为Ψ, 超前的时间为 Ψ / ω
(2)当 Ψ < 0 时，表明u(t)滞后于电流i(t),滞后的角度为|Ψ|,滞后的时间为 |Ψ| / ω 【Ψ取绝对值是因为 Ψ>= 0】

看一下两个信号 Ψ的取值可能情况

经典例题：
【信号必须是统一的形式，不同形式需要转换】

3. 有效值

从能量角度定义的正弦信号的有效值可以表征其大小。正弦电流有效值定义为：令正弦电流i(t)和直流电流I分别通过阻值相同的电阻R,若二者在相同时间T(T为正弦信号的一个周期）内能量相等，则称直流电流的量值为正弦电流的有效值，记为I。
其实就是以能量来把交流电和直流电能量比较

用积分来算一下就行啦；这里记住结论就行

正弦电有效值和振幅之间的关系
有效值 = 0.707 * 振幅

二、正弦量的相量表示

1. 复数及其运算

一个复数可以表示成直角坐标或极坐标形式

虚部实部和数学的一样

1.加减法

对应的部位相互计算即可

2.乘除法

若两个复数作乘法运算，则在极坐标中，它们的模相乘，辐角相加
若两个复数作除法运算，则在极坐标中，它们的模相除，辐角相减

经典例题：

2. 正弦量与相量

相量分析法是分析正弦稳态电路的一个简便而有效的方法，主要是用一个相量来表示正弦电压和电流。
前面介绍了正弦量的三要素是振幅、角频率和初相位，此外，线性正弦稳态电路的特点是，若所有激励为频率相同的正弦量，则电路响应也为同频率的正弦量且仅仅是正弦量的振幅与初相位发生变化。基于这两点，正弦稳态电路中的正弦量，只需要确定振幅和初相位两个要素即可。

这个有点儿抽象；看一个题就知道啦；

三、电路定律的相量形式

1. 无源元件的VCR相量形式

这个记住结论就可以

电阻两端的电压u(t)与流经电阻的电流i(t)的 频率相同，且两者相位相同
电感两端的电压u(t)与流经电感的电流i(t)的 频率相同，但 电压的相位超前电流的相位90°
电容两端的电压u(t)与流经电容的电流i(t)的 频率相同，但 电流的相位超前电压的相位90°

2. KCL与KVL的相量形式

和时域分析方法的都一致，只是需要换一下电源的形式；本质上都一样

例题：

四、电路的相量模型

1. 阻抗与导纳

在相量分析中，阻抗其实就是类似电阻，导纳也是类似电导的

定义端口电压相量与电流相量之比为该网络的阻抗用Z表示

等效图

然后就是电器元件的阻抗

电阻：R
电感：jωL
电容：1 / jωC

导纳就是这个的倒数而已

2. 正弦稳态电路相量模型

采用相量分析法求解正弦稳态电路时，首先需要画出电路的相量模型，即在电路拓扑结构不变的前提下，将时域电路模型中的各个元件用其对应的相量形式来表示。其步骤为：
(1)电源用相量表示（有效值相量或者振幅相量均可，以方便计算为标准来选择;
(2) R、L、C元件用阻抗或导纳表示；
(3) 各已知或待求电压、电流均用相量表示，标注在相量模型图中，电压与电流的参考方向保持不变。

经典例题：

经典例题:

五、正弦稳态电路的相量分析法

相量法分析正弦稳态电路的步骤如下：
(1)将电路的时域模型转化为相量模型，即正弦电流、电压用相量形式表示，无源支路（元件）用复阻抗表示；
(2)选择适当的电路分析方法：网孔分析法、结点分析法、叠加定理、等效电源定理及电阻的串并联等效等方法；
(3)建立相量形式的电路方程，求解方程得到相量解；
(4)将相量解转化为时域解，也就是将所得的电压、电流相量计算结果变换成正弦表达式。

经典例题：

经典例题：

经典例题：

经典例题：

经典例题：

六、正弦稳态电路的功率与功率传输

1. 单口网络的功率

1、瞬时功率

设无源单口网络N,其端口电压、电流参考方向如图所示。网络N在任一瞬时吸收的功率，即瞬时功率记为
p(t) = u(t) * i(t)
可以参考下图
对应电阻来说：由于相位关系为 Ψ = Ψ_u - Ψ_i = 0；由上面关系
对应电感来说：由于相位关系为 Ψ = Ψ_u - Ψ_i = 90° ；由上面关系

电感储能平均值为：
对应电容来说：由于相位关系为 Ψ = Ψ_u - Ψ_i = -90° ；由上面关系

电容储能平均值为：

2、平均功率

瞬时功率在一周期内的平均值，称为平均功率记为P

单口网络吸收的平均功率为

Ψ = Ψ_u - Ψ_i 是端口电压与电流的相位差，也称为功率因数角；cosΨ 为功率因数用 λ 表示。P 表明单口网络吸收的平均功率值等于单口网络吸收的瞬时功率中的恒定分量。它不仅与网络端口电压、电流有效值（或振幅）大小有关，还与功率因数 cosΨ 密切相关。
若单口网络N为无源单口网络，则单口网络的功率因数角即为该单口网络的阻抗角。当单口网络的阻抗为感性时，Ψ>0；阻抗为容性时，Ψ<0；阻抗为电阻性时，Ψ=0。 但无论Ψ是多少，cosΨ ≥0。因此，在设计电路时，对功率因数指标不能只提数值要求，还要加上体现电路性质的“感性”或“容性”字样。

由此；可知道电感、电容的平均功率为0，为储能元件；而电阻为纯粹耗能元件

结论：
对无源单口网络来说，网络消耗的平均功率P=网络内部各电阻消耗的平均功率之和=端口处所接电源提供的平均功率。

3、无功功率

无功功率 Q 来反映单口网络N与外电路的能量交换的最大速率，它定义为

同样的电感、电容、电阻的功率情况如下

结论：
对无源单口网络来说，网络需要的无功功率Q=网络内部各动态元件吸收的无功功率之和=端口处所接电源提供的无功功率。

4、单口网络的视在功率

在电工技术中，把单口网络N的端口电压、电流有效值乘积或振幅乘积之半定义为N的视在功率，用符号S表示，即

在正弦稳态电路中，平均功率一般是小于视在功率的，也就是说平均功率是在视在功率的基础上打一个折扣入得到的。因此，视在功率是单口网络N吸收平均功率的最大值。虽然视在功率不等于电路实际消耗的功率，但它在电力工程中却有着极其重要的实用意义。

在任何实际电气设备出厂时，都要规定电气设备正常工作时的额定电压和电流的有效值，设备必须在低于额定数值的条件下使用，否则可能会损坏电气设备。因此，视在功率是反映电气设备容量的，至于它到底能对负载提供多大的平均功率，要看负载的阻抗形式，即入有多大。如某发电机的容量为2000V·A:若负载为纯电阻（A=1),则发电机能提供的平均功率为2000W;若负载为电动机（电感性负载）,假设入=0.8,则发电机能提供的平均功率为2000×0.8W=1600W。由此可见， 负载功率因数的高低决定了电气设备容量的利用程度。因此，要想充分利用电气设备，就必须尽量提高负载的功率因数。

5、P、S、Q的关系

可以用一个功率三角形来描述

经典例题：

2. 最大功率传输定理

生活、生产使用。在忽略传输线上能量损耗的前提下，负载若要尽可能多地获得能量，就必须从给定的电源(信号源）中获得尽可能大的功率。核心都是在于如何提高功率因数；一般有两种匹配方式

1、共轭匹配

简单来说，就是负载里面是有电感或电容，可以来抵消电源来的功率因数交，就是阻抗抵消完只有纯电阻啦

2、等模匹配

简单来说，负载没有有电感或电容，只有电阻。

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