如何解二阶齐线性微分方程

2024-05-26 03:20:06

二阶齐线性微分方程就是指形如y′′+py′+q=0y''+py'+q=0y′′+py′+q=0的微分方程，一种解法就是使用二阶微分方程的公式，这里介绍另一种方法。

对于二阶微分方程，如果找到两个线性无关的特解y1,y2y_1,y_2y1,y2，那么通解为
y=C1y1+C2y2y=C_1y_1+C_2y_2y=C1y1+C2y2

根据这个定理，我们只需要找到两个线性无关的特解，就能解出通解。

令y=erxy=e^{rx}y=erx，其中rrr是一个实数。代入微分方程得
r2erx+prerx+qerx=0r^2e^{rx}+pre^{rx}+qe^{rx}=0r2erx+prerx+qerx=0
消去erxe^{rx}erx得r2+pr+q=0r^2+pr+q=0r2+pr+q=0
我们只需要解这个一元二次方程得两根r1,r2r_1,r_2r1,r2即可。下面分类讨论

1.若r1,r2r_1,r_2r1,r2为不等的两个实根

得到两个线性无关的特解y1=er1x,y2=er2xy_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}y1=er1x,y2=er2x，所以通解为
y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}y=C1er1x+C2er2x

2.若r=r1=r2r=r_1=r_2r=r1=r2为相等实根

我们只能得到一个特解y1=erxy_1=e^{rx}y1=erx，那么再令y=uerxy=ue^rxy=uerx，其中uuu是关于xxx的函数。
erx(u′′+2ru′+r2u+pu′+pru+qu)=0e^{rx}(u''+2ru'+r^2u+pu'+pru+qu)=0erx(u′′+2ru′+r2u+pu′+pru+qu)=0u′′+(2r+p)u′+(r2+pr+q)=0u''+(2r+p)u'+(r^2+pr+q)=0u′′+(2r+p)u′+(r2+pr+q)=0注意到2r+p=r2+pr+1=02r+p=r^2+pr+1=02r+p=r2+pr+1=0，故
u′′=0u''=0u′′=0取u=xu=xu=x，则y2=xerxy_2=xe^{rx}y2=xerx，所以通解为
y=(C1+C2x)erxy=(C_1+C_2x)e^{rx}y=(C1+C2x)erx

3.若r1,r2r_1,r_2r1,r2为一对共轭复根

设r1=α+βi,r2=α−βir_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta ir1=α+βi,r2=α−βi，那么
y1=eα(isinβx+cosβx),y2=eα(−isinβx+cosβx)y_1=e^\alpha(isin\beta x+cos\beta x),y_2=e^\alpha(-isin\beta x+cos\beta x)y1=eα(isinβx+cosβx),y2=eα(−isinβx+cosβx)可以得到两个特解y3=y1+y22,y4=y1−y22iy_3=\frac{y_1+y_2}{2},y_4=\frac{y_1-y_2}{2i}y3=2y1+y2,y4=2iy1−y2
y3=eαsinβx,y4=eαcosβxy_3=e^\alpha sin\beta x,y_4=e^\alpha cos\beta xy3=eαsinβx,y4=eαcosβx所以通解为
y=eα(C1sinβx+C2cosβx)y=e^\alpha(C_1sin\beta x+C_2cos\beta x)y=eα(C1sinβx+C2cosβx)

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