正则摄动法matlab,孤立特征值情况的矩阵摄动法

孤立特征值情况的矩阵摄动法

一、基本方程

或

设原始特征值问题是

相应的正交规范条件是

K0xi0 i0M0xi0

xiT0M0xj0 ij

(i 1~n)

(1)

(i,j 1~n)

(2)

xiT0K0xj0 i0 ij

(i,j 1~n)

其中，M0、K0分别是原系统的n n阶对称质量阵、刚度阵， i0是特征值，且 i0 i0，

ij 1，i j时，(i j时， i0是固有频率，xi0是相应的特征向量， ij是Kronecker函数 ij 0)，下标i,j 1~n。以下为方便起见，均省去这一说明。

系统结构参数改变后，相应的质量阵、刚度阵均有相应的变化，设系统修改后的质量阵、

刚度阵分别为

M M0 M1

K K0 K1

(3)

式中是一个小参数，与的变化，当 M1

， M1、 K1分别代表M0、K0 0对应的系统就是原系统(1)

0， K1 0时，M M0，K K0。显然，新系统(即结构修改

(K0 K1)xi i(M0 M1)xi

xiT(M0 M1)xj ij

后的系统或称摄动系统)的特征值问题及相应的正交规范条件是

(4) (5)

其中， i为新系统的特征值，xi 是相应的特征向量。

如果原系统的 i0各不相同，且相互间距不小，此时就称 i0为系统(1)的孤立特征值。

在这种情况下，当 M1、 K1很小时，新系统的特征值 i及相应的xi均只有小变化。根据摄动理论，可将 i、xi按小参数展开成幂级数(因此，胡海昌院士称其为小参数法)，即

i i0 i1 2 i2 ( 3)

xi xi0 xi1 2xi2 ( 3)

(6) (7)

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