有学生想学数学分析，我这个月就教了教他，参考材料用的是卓里奇的《数学分析》、中科大的《数学分析教程》和伍胜建的《数学分析》，现在刚把黎曼积分的存在性定理的充分必要条件讲完。Rudin的书上直接用达布上、下和的确界相等来规定积分的常义黎曼积分的存在性，我居然在讲解的过程中自动就这样做了。当然对于黎曼积分来讲，还需要写成那种标准的黎曼和的形式，需要再来一点点证明就可以了。

在定积分的应用中，我发现了一个小小的问题，就是关于旋转曲面的侧表面积的公式，虽然公式看起来微元法用的很好，这里还是有个问题，什么叫曲面的面积，他暂时还没有一个明确的定义，所以有些书上干脆就把这个不那么严格的，完全可以放在后面参数曲面讲的情形删掉了。这样处理还是有些好处的，有些书，比如复旦那本总让人感觉意犹未尽，还没说的太明白的地方，居然还出了第四版。

最近将函数项级数的一致收敛讲完了。我的一个感觉，复旦的书在这一部分写的非常糟糕，不突出重点，只讲连续函数，这样在构造的任意可数个点上不连续的函数时，就会发现定理直接用不了。还有不讲黎曼积分的一致收敛定理，简直把黎曼不当回事啊。结果就是碰到类似的问题之后就懵逼了。再多的细节上详略失当，课堂上没有高水平的老师讲解和点拨，我看学生是难以理解的。

关于各种极限交换次序的问题，总是需要有一个一致性才能过渡过去! 而这么多，每个都想明白也是可以的，卓里奇的书上将他们全部统一了，另外参考王昆杨，郇中丹，刘和平的数学分析书。

方向导数的定义什么时候能够和黎曼几何中的方向导数衔接，不要再搞什么正规化长度，单位向量了。

第二版书上好好的维尔斯特拉斯逼近定理证明居然被省略了，我真的不知道这还学什么数学分析！！！

北大数学分析的教学真的让人佩服，lwg直接上来就是Lebsgue单调函数微分定理。 Taylor公式的证明行云流水！ 这也是一般的教科书上让人无语的地方，都不想去看。

最近在讲傅里叶级数，在陈传璋的书上这一部分如果你仔细看会有很多的Gap，当然有一个”可积”和“绝对可积“的条件，这里还是写的比较准确的，反而有些书上此处不是很明确，实际中会有一个说不清楚的地方，这也就是为什么用Lebesgue积分来更好说话的原因，在这Lebesgue可以用Lebesgue点来替代原来的左右极限存在之类的条件等等。在必须比如在Lipschitz判别法中有个可积性的验证他直接省略了，北大和南开的书上倒是指出了。再者，讲完Fourier级数的逐点收敛的充分条件后，最好还是要注解一下，在这个问题上近2个世界的数学家在此古典分析问题上的进展以及结果，提提Lusin猜想，Carleson的结果，特别是对连续(周期)函数的结论，这是需要强调的，要不然，还学什么数学分析，直接改学高等数学算了！！！这是我的一点意见。

今天多元微分分部分所有的内容也讲解完了，对于我而言，相当于又重新学习了一元微积分的严格化理论。收获也还是蛮大的，自己看书，和你自己给别人讲解一遍。总体看来，数学分析的内容太琐碎了，经过了一代代数学家的精挑细选，内容上已经比较固化了。而如果仅仅停留在细节上，这不是学完数学分析书后应该有的感受。我们需要的一种宏观的感觉，一种更高视角的审视。可以大概这么说，勒贝格积分替代黎曼积分，n维空间的逆映射定理，n重积分变量替换公式的推广等等，都可以在实分析，流形理论，几何测度论中找到影子。

数学分析习题课讲义  谢惠民等编写的这个参考书可以说是国内数学分析教学的经验总结，内容非常丰富，大大超越了课程本身所涵盖的内容，是非常好的材料。当然菲赫金戈尔茨的 微积分学教程 那真的是卷帙浩繁，实在是古典分析的集大成者！

江泽坚老先生写的实变函数论看起来还是不错的，前言部分的观点还是很高的。当然这仅仅属于一元微积分的内容推广。而这写完全的推广似乎在国内本科的课程里面没法找到。只能在研究生实分析的课程中去升华了。而国内研究生课程的水平，又有几所大学的研究生院在好好讲解实分析的高级课程了，一般也就是自学了。没有高水平的教师来讲解，没有一代一代的数学研究者来传承，大家也就不会太在意了，基本就按照本科课程的理解来走了，而这样也就只是照猫画虎，形式上似乎都会了，但细节却在缺省中！ 估计也就清北科大复旦等学校实分析研究生课程会认真开了。

可以直接运用对$\frac{1}{x}$的Hermit-Hadamard积分不等式和瓦利斯公式来证明阶乘的渐进估计, i.e.,  $n!~\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$.

而多元微积分部分明天开始。先讲n维空间的拓扑。实际上在度量空间中做拓扑学的研究即可。而具体到欧式空间，有界闭集等价于自列紧集，也等价于紧集。非空区域（连通开集）一定是道路连通的，证明可以参考Conway 的单复变函数第二章。

多元微分学部分，完全可以和单元微积分进行类比学习。函数极限，偏导数，可微，连续可微，混合导数，链式求导法则（变为矩阵相乘），Jocobi矩阵，Jocobi行列式，Lagrange拟中值公式，Taylor公式，Taylor幂级数展开。当然最大的不同，还在于隐函数定理和反函数定理，特别是反函数定理，说白了就是局部微分同胚、Jocobi行列式蕴涵开映射定理。在这里也有求极值的问题，无约束极值，有约束极值（等式），（如果是不等式，则对应着KT条件），在南开的数学分析教材上给出了约束极值的几何意义，也给出了一些充分条件，当然有一个必要条件是学椭圆方程常用的，那就是二阶连续可微函数取极小值，则该点的Hessian是非负定矩阵。取到极大值则是非正定的。还有一个，我以前一直不太理解的函数相关的问题，南开的书上给出了很好的解释，当然华罗庚的高等数学引论还给出了一个例子。

正如科大的数学分析教程上所说的，多重积分的变量替换公式的严格的数学证明是极其复杂的，于是他们就只能进行几何上的近似的推导了。但定理的叙述和适用范围确是应该严格证明的。科大的书上，把Lebesuge零测度集引入近来，这样就能更好的说明矩形区域上（有界）黎曼可积函数的充分必要条件了。 变量替换公式可以有两种解释，一种是从坐标的观点，一种是从变换的观点。再后来计算曲面面积的时候，就可以应用多重积分的变量替换公式了，而且也说明面积不依赖于参数化的选取。 在多重积分中，我还是觉得Fubini定理是一个比较神奇的定理，虽然说看起来很简单，但你在做研究的过程中用它{Lebesuge测度的版本，或者一般sigma有限测度的版本}，那确实是很值得深思的事情。此外，多元函数广义积分的存在性和绝对可积是一致的，这是与1元情形完全不同的。（一元情形有界闭区间可积能推出绝对可积分，绝对可积推不出可积；广义积分情形正好相反，广义绝对可积能推出广义可积，广义可积推不出广义绝对可积。这完全是由于R^1的拓扑决定的。）

接下来的事情就是比较几何和物理的讲法了，即各种类型的线积分、面积分、Gauss-Green公式，Stockes公式等等。

最后，不用说，也是一个难点，即含参变量积分，不过如果你对一致收敛已经有了比较深的体会，有些定理你可以完全自己学出来了，说白了就是一个极限交换次序的问题。

学完了数学分析，如果别人问你数学分析中最重要的内容是什么？那当然我们首先要说是极限，微分，积分等带有明显极限思想的内容，再者最重要的公式当然是Newton-Leibnitz公式，Gauss-Green公式了。而各种取极限交换次序的思想总是需要一种一致性的收敛在里面。当然，现在让我再看，我觉得最最重要的确实隐函数定理和反函数定理。分析的东西，太琐碎，又太精细了。 如果你沿着为什么要引如某个概念，为什么会有这样的定理，这样你不仅仅会对那些形式上在高等数学中很常见的内容有新的体会，事实上你已经学着去思考那些大数学家曾经是如何走过的。归根结底，分析学不是一下子就能完全学会的，需要在实践中慢慢摸索、体会。

一般线性代数的教学已经于去年暑假完成了，教的内容相当于高等代数的削减版本。

接下来转向实分析、泛函分析、点集拓扑学的教学工作！！！