第九章第十三节(无向图求欧拉回路)

欧拉环游：在图中找到一条路径，从起点开始，依此经过图中的所有边，一个边只能走一次，到达终点，终点和起点可以不同

欧拉回路：在图中找到一条路径，从起点开始，依此经过图中的所有边，最后回到起点，一个边只能走一次。

欧拉环游存在的条件：当前图是连通的，图中的恰有零个或两个顶点的度是奇数，其余顶点的度数为偶数，才会存在

欧拉回路存在的条件：当前图是连通的，图中所有的顶点的度是偶数时，欧拉回路必存在。

寻找欧拉回路的算法：如果从起点出发的所有边均已用完，那么图中就会有的部分遍历不到。最容易补救的方法就是找出有尚未访问的边的路径上的第一个顶点，并执行另外一次深度优先搜索。这将给出另外一个回路，把它拼接到原来的回路上。
继续该过程直到所有的边都被遍历到为止。

用到的数据结构

typedef struct Node* ptrNode;
struct Node {int v;             //记录顶点      ptrNode next;
};
//用链表来存储欧拉回路走过的路径，head为链表的头节点
ptrNode head = (ptrNode)malloc(sizeof(struct Node));
ptrNode H = head;//首先判断图是否为连通的，然后判断图中顶点的度是否都为偶数
int Viseted[MAXVERTEX];         //用一次dfs，记录图是否连通
int degree[MAXVERTEX];          //记录每个顶点的度
int ne;                         //ne记录走过的边
Graph P;                        //邻接矩阵存储图

主函数步骤

int main() {P = BuildGraph();           //初始化图if (IsConnect()) {            //IsConnect 函数判断图是否连通if (Isdegree()) {      //Isdegree 函数判断每个顶点的度是否为偶数printf("存在欧拉回路\n");isDfs(0);            //如果存在欧拉回路，从顶点0开始寻找欧拉回路}else {printf("图中节点的度数不为偶数，欧拉回路不存在\n");}}else {printf("该图不连通，无欧拉回路\n");}return 0;
}

判断图是否连通函数

void dfs(int vertex) {       //对图进行一次dfs，判断图是否连通Viseted[vertex] = 1;for (int i = 0; i < P->Nv; i++) {if (P->Graph[vertex][i] != 0 && Viseted[i] == 0) {dfs(i);}}
}
bool IsConnect() {dfs(0);               //进行一次dfs，然后判断，每个顶点是否都已访问到    for (int i = 0; i < P->Nv; i++) {if (Viseted[i] == 0)        return false;}return true;
}

判断图中顶点度的个数是否为偶数

bool Isdegree() {//判断图中各个顶点的度是否为偶数for (int i = 0; i < P->Nv; i++) {for (int j = 0; j < P->Nv; j++) {if (P->Graph[i][j] != 0) {//i到j有一条边。degree[j]++;}}}for (int i = 0; i < P->Nv;i++) {if (degree[i] % 2 != 0) {return false;}}return true;
}

求欧拉回路函数

void Dfs(int vertex) {//将走过的顶点，加入链表ptrNode p = (ptrNode)malloc(sizeof(struct Node));p->v = vertex;p->next = NULL;H->next = p;H = p;for (int i = 0; i < P->Nv; i++) {if (P->Graph[vertex][i] != 0) {P->Graph[vertex][i] = 0;    //将边删除P->Graph[i][vertex] = 0;  //将边删除ne += 2;                    //统计当前走过的边数Dfs(i);                      break;                      //每个顶点不能往后再走}}
}
void euler(int vertex) {//求欧拉回路路径Dfs(vertex);int flag;ptrNode p,tmp,f=NULL;while (ne < P->Ne * 2) {for (p = head->next; p; p = p->next) {//找出从路径开始的第一个尚未走过边的顶点flag = 0;for (int i = 0; i < P->Nv; i++) {if (P->Graph[p->v][i] != 0) {//顶点p->v有边尚未走过f = H;           //记录当前链表尾的位置    flag = 1;      //找到尚未走过的边的顶点Dfs(p->v);      //p->v进行一次dfsbreak;}}if (flag == 1)break;}//此时f->next为从p->v顶点开始走过的路径//p为链表中要拼接的位置tmp = f;f = f->next->next;//将f拼接到p后面tmp->next = NULL;       //将链表尾置位空H = tmp;              //H为新拼接后的链表尾tmp = p->next;          //保存p->nextp->next = f;      while (p->next)p = p->next;p->next = tmp;            //将tmp接回p->next}//输出欧拉回路for (p = head->next; p;p = p->next) {printf("%d ", p->v);}
}

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