最大线性无关组-混合颜料

题目描述
用正整数表示不同颜色的颜料。这幅画需要的n种颜色的颜料，你现在可以去商店购买一些颜料，但是商店不能保证能供应所有颜色的颜料，所以你需要自己混合一些颜料。混合两种不一样的颜色A和颜色B颜料可以产生(A XOR B)这种颜色的颜料(新产生的颜料也可以用作继续混合产生新的颜色,XOR表示异或操作)。最少需要购买几种颜色的颜料？

思路：一个数字代表一种颜料，可以用32位二进制数表示。那么问题求解矩阵的秩，即寻找可以表示所有行的矩阵的基。

容易有以下推论：

初始化，基的集合为各个数的二进制表示，如果最大的两个数a和b，它们最高位1所在位置相同，那么可以异或出更小的数字c，即最大的那个数a可以由更小的两个基合成，这里如果c不在基的集合中，那么加入到集合中；如果最大的两个数最高位1所在位置不同，那么异或后最高位1和a一致，即不能产生新的更小的基，那么此时最大的数a必须单独作为一个基。res++

每一轮操作后，需要删除最大的数，因为无论是否最大的数是合成产生还是单独的基，其已经讨论过了

最后的答案是 res(那些需要单独成为一个基的数量)+最终基的集合的大小

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;int fun(int a)  //获得最高位1的位置
{int ans=0;while(a){ans++;a=a>>1;}return ans;
}int main()
{int n;vector<int> colors;while(cin>>n){int temp;int res=0;int i=n;colors.clear();  //colors表示当前基的集合   初始化为所有数字的二进制表示while(i--){cin>>temp;colors.push_back(temp);}sort(colors.begin(),colors.end());int endValue=n-1;int cmpValue=endValue-1;//从最大的两个数开始 因为0异或0只能也为0   而最高位1相等才可能异或出低位while(colors.size()>2){//只有最高位1所在位置相同，才可能异或出低位置if(fun(colors[endValue])==fun(colors[cmpValue])){int temp=colors[endValue]^colors[cmpValue];//异或出更小的数（基）if(find(colors.begin(),colors.end(),temp)==colors.end()){colors.push_back(temp);//产生新的配方sort(colors.begin(),colors.end());endValue++;cmpValue++;}}else  //那么最高位只能单独购买调料{res++;//那么最大的那个数一定需要单独购买配料 并且它不能和其它数产生可用配料}colors.pop_back(); //最大的那个 或者由更小的基合成  或者单独为基  讨论完成endValue=cmpValue;cmpValue--;}cout<<res+colors.size()<<endl;}}

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