极限运算法则——“高等数学”

各位CSDN的uu们你们好啊，今天，小雅兰学习的内容是极限运算法则

回顾

无穷小的极限运算法则

定理1：两个无穷小的和是无穷小

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

极限的四则运算法则

定理3

定理4

定理5：极限的保序性

例题

1.多项式（有理整函数）的极限

2.有理分式函数的极限

复合函数的极限运算法则

极限运算法则小结

先回顾一下之前已经学过的知识——函数的极限

光靠函数的极限解题肯定是不够，存在着一定的局限性，所以我们就引出了一系列知识点

我们会学习到四则运算法则和复合函数极限运算法则

从左向右依次为：双极限问题、右极限问题、左极限问题

上次课我们学到了无穷大与无穷小，了解到了无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程下，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小，反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)不等于0，则1/f(x) 为无穷大

我们的回顾就到这里结束啦，下面我们进入正题

一、无穷小的极限运算法则

定理1：两个无穷小的和是无穷小

这就是我们定理1的证明过程了，下面，我们趁热打铁，来看几道例题

初学者很容易犯这样的错误，那么，正确的解法究竟是什么样子呢？

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

我们来看一下证明过程

这就是我们的定理2的证明过程了，下面，我们还有几个推论

将推论2推广，可以得知：有限个无穷小的乘积也是无穷小

然后，我们再来看几个例题

sin x是有界函数，1/x是无穷小，这个例题完全诠释出了有界函数与无穷小的乘积是无穷小

有的人会这样写

这样的写法是不严谨的，因为当x趋向于无穷时，sin x的极限不存在

看此例题，|cos 1/x |<=1,所以cos 1/x是一个有界函数，这又是一个有界函数与无穷小的乘积的问题

再看一个例题

经过上述学习，大家已经知道了两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么肯定有人想：两个无穷小的商是无穷小吗？

这个答案是否定的，相信大家可以看出，两个无穷小的商的极限的情况是非常复杂的

二、极限的四则运算法则

定理3

然后我们来证明一下(2)

这个A是一个常数函数，β是一个无穷小，常数函数与无穷小的乘积是无穷小，所以A乘以β的极限是无穷小；同理，B是一个常数函数，α是一个无穷小，那么B乘以α的极限也是无穷小。α是一个无穷小，β也是一个无穷小，两个无穷小的乘积是无穷小，所以α乘以β的乘积的极限是无穷小。

下面说明两点此定理的注意事项

（1）应用定理3时，要注意条件：lim f(x),limm g(x)均存在

下面来讲讲两个推论

定理4

定理5 （极限的保序性）

三、例题

1.多项式（有理整函数）的极限

来看几个简单的小题

2.有理分式函数的极限

来看几个小例题

结论

一般性结论

一个题目

这时要记住，千万不能把分子展开，这样计算量太大了！！！直接看三次项系数之比

四、复合函数的极限运算法则

例题

极限运算法则小结

好啦，那小雅兰今天学习的内容就到这里了，未来还要继续加油哟！！！

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