L3-009 长城 (30 分)-PAT 团体程序设计天梯赛 GPLT

正如我们所知，中国古代长城的建造是为了抵御外敌入侵。在长城上，建造了许多烽火台。每个烽火台都监视着一个特定的地区范围。一旦某个地区有外敌入侵，值守在对应烽火台上的士兵就会将敌情通报给周围的烽火台，并迅速接力地传递到总部。

现在如图1所示，若水平为南北方向、垂直为海拔高度方向，假设长城就是依次相联的一系列线段，而且在此范围内的任一垂直线与这些线段有且仅有唯一的交点。

进一步地，假设烽火台只能建造在线段的端点处。我们认为烽火台本身是没有高度的，每个烽火台只负责向北方（图1中向左）瞭望，而且一旦有外敌入侵，只要敌人与烽火台之间未被山体遮挡，哨兵就会立即察觉。当然，按照这一军规，对于南侧的敌情各烽火台并不负责任。一旦哨兵发现敌情，他就会立即以狼烟或烽火的形式，向其南方的烽火台传递警报，直到位于最南侧的总部。

以图2中的长城为例，负责守卫的四个烽火台用蓝白圆点示意，最南侧的总部用红色圆点示意。如果红色星形标示的地方出现敌情，将被哨兵们发现并沿红色折线将警报传递到总部。当然，就这个例子而言只需两个烽火台的协作，但其他位置的敌情可能需要更多。

然而反过来，即便这里的4个烽火台全部参与，依然有不能覆盖的（黄色）区域。

另外，为避免歧义，我们在这里约定，与某个烽火台的视线刚好相切的区域都认为可以被该烽火台所监视。以图3中的长城为例，若A、B、C、D点均共线，且在D点设置一处烽火台，则A、B、C以及线段BC上的任何一点都在该烽火台的监视范围之内。

好了，倘若你是秦始皇的太尉，为不致出现更多孟姜女式的悲剧，如何在保证长城安全的前提下，使消耗的民力（建造的烽火台）最少呢？

输入格式：

输入在第一行给出一个正整数N（3 ≤ N ≤105），即刻画长城边缘的折线顶点（含起点和终点）数。随后N行，每行给出一个顶点的x和y坐标，其间以空格分隔。注意顶点从南到北依次给出，第一个顶点为总部所在位置。坐标为区间[−109,109)内的整数，且没有重合点。

输出格式：

在一行中输出所需建造烽火台（不含总部）的最少数目。

输入样例：

10
67 32
48 -49
32 53
22 -44
19 22
11 40
10 -65
-1 -23
-3 31
-7 59

输出样例：

分析：根据题目易知，我们需要判断一共有几个凸出来的点。可以借助堆栈结构，从南到北判断每个点是否为凸出点，不是的话说明可以被前面某个烽火台观测到，直接弹出就不用管了。每次判断三个点，当前输入点l，上一个留在堆栈内的待观察点mid和再前面一个点r，如果直线lr的斜率是否大于等于（题目特殊规定）直线lmid的斜率，是的话说明不是凸出来点。当栈中存在大于2个的点时，表示mid点为烽火。top表示栈顶，X,Y中存储折线顶点坐标，tower为模拟堆栈数组，vis数组中记录某个点是否被标记为烽火台，函数isConcave判断是否是凹点或平行中点～

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n, top, ans, X[100005], Y[100005], tower[100005], vis[100005];
bool isConcave (const int &l, const int &mid, const int &r) {return (Y[r] - Y[l]) * (X[mid] - X[l]) >= (Y[mid] - Y[l]) * (X[r] - X[l]);
}
int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> X[i] >> Y[i];if (top) {while (top > 1 && isConcave(i, tower[top], tower[top - 1])) top--;if (top != 1 && !vis[tower[top]]) vis[tower[top]] = 1, ans++;}tower[++top] = i;}cout << ans;return 0;
}