Matlab仿真产生复高斯白噪声，验证包络服从瑞利分布，包络平方服从指数分布

最近看之前做的一些信号仿真，有好多知识点忘了。还是把它们整理记录下来比较好，有助于以后回头再看。

复高斯白噪声的产生

z=a+biz=a+biz=a+bi
其中,iii表示虚数单位,aaa和bbb表示方差相同零均值高斯分布随机变量，有：
a∼N(0,σ2)a\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)a∼N(0,σ2)
b∼N(0,σ2)b\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)b∼N(0,σ2)
此时该噪声功率为σz2=2σ2\sigma^2_z=2\sigma^2σz2=2σ2
比如一个噪声功率σz2=0.18\sigma^2_z=0.18σz2=0.18的复高斯白噪声，σ=0.3\sigma=0.3σ=0.3，matlab产生代码如下：

N=10000;%样本数量
power=0.18;%噪声功率
sigma=sqrt(power/2);%标准差
z = sigma.*(randn(N,1)+1i*randn(N,1));%产生复高斯白噪声

画个直方图看一下z的实部，虚部也类似：

长得挺像正态分布的，样本求标准差为0.3004，与预设值差不多。

复高斯白噪声的包络

复高斯白噪声的包络（模值）服从瑞利分布，参考百度百科，其概率密度函数如下：
f(x)=xσ2exp⁡(−x22σ2),x>0f(x)=\frac{x}{\sigma^2}\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2}), \quad x>0f(x)=σ2xexp(−2σ2x2),x>0
均值（数学期望）：
E(X)=σπ2≈1.253σE(X)=\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}\approx1.253\sigmaE(X)=σ2π≈1.253σ
方差：
D(X)=4−π2σ2≈0.429σ2D(X)=\frac{4-\pi}{2}\sigma^2\approx0.429\sigma^2D(X)=24−πσ2≈0.429σ2

对zzz取模画个直方图看下：

样本均值0.3760（0.3759），样本方差0.0390（0.0386），括号内为按上述公式计算出来的均值方差，和预期很接近，说明样本服从瑞利分布。

复高斯白噪声的包络平方

复高斯白噪声的包络平方能够代表噪声的功率，服从指数分布，参考百度百科，概率密度函数如下：
f(x)={λe−λxx>00x≤0f(x)=\left\{\begin{aligned} \lambda &e^{-\lambda x} \quad &x>0\\ &0\quad &x\leq0 \end{aligned} \right. f(x)={λe−λx0x>0x≤0
累计分布函数：
F(x)={1−e−λxx>00x≤0F(x)=\left\{\begin{aligned} 1-&e^{-\lambda x} \quad &x>0\\ &0\quad &x\leq0 \end{aligned} \right. F(x)={1−e−λx0x>0x≤0
均值（数学期望）：
E(X)=1λE(X)=\frac{1}{\lambda}E(X)=λ1
方差：
D(X)=1λ2D(X)=\frac{1}{\lambda^2}D(X)=λ21

特别注意，此处指数分布参数λ=12σ2\lambda=\frac{1}{2\sigma^2}λ=2σ21，直方图如下所示：

样本均值0.1804（0.18），样本方差0.0328（0.0324）。
附代码：

N=100000;%样本数量
power=0.18;
sigma=sqrt(power/2);%标准差
z = sigma.*(randn(N,1)+1i*randn(N,1));%产生复高斯白噪声
histogram(real(z))
grid on
std(real(z))^2%样本方差absz=abs(z);%取包络
mean(absz)%样本均值
std(absz)^2%样本方差
figure(2)
histogram(absz)
grid onexpz=absz.^2;%包络平方
mean(expz)%样本均值
std(expz)^2%样本方差
figure(3)
histogram(expz)
grid on

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