高斯噪声/白噪声/高斯白噪声的区别

这几个概念的区别和联系：（转自：研学论坛）

白噪声，就是说功率谱为一常数；也就是说，其协方差函数在delay=0时不为0，在delay不等于0时值为零；换句话说，样本点互不相关。（条件：零均值。）
   所以，“白”与“不白”是和分布没有关系的。
   当随机的从高斯分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“高斯白噪声”；
   同理，当随机的从均匀分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“均匀白噪声”。
那么，是否有“非白的高斯”噪声呢？答案是肯定的，这就是”高斯色噪声“。这种噪声其分布是高斯的，但是它的频谱不是一个常数，或者说，对高斯信号采样的时候不是随机采样的，而是按照某种规律来采样的。
       仿真时经常采用高斯白噪声是因为实际系统（包括雷达和通信系统等大多数电子系统）中的主要噪声来源是热噪声，而热噪声是典型的高斯白噪声，高斯噪声下的理想系统都是线性系统。
相关讨论：
   1、白噪声是指功率谱在整个频域内为常数的噪声，其傅氏反变换是单位冲击函数的n倍（n取决于功率谱的大小），说明噪声自相关函数在t=0时不为零，其他时刻都为0，自相关性最强。高斯噪声是一种随机噪声，其幅度的统计规律服从高斯分布。高斯白噪声是幅度统计规律服从高斯分布而功率谱为常数的噪声, 如果在系统通带内功率谱为常数，成为带限白噪声“高斯”与“白”没有直接关系，有时人们还会提出高斯型噪声，这指的是噪声功率谱呈高斯分布函数的形状而已。
   2、连续白噪声和离散白噪声序列的关系是什么？它们之间不应该是简单的采样关系。因为连续白噪声的功率谱在整个频率轴上为常数，按照随机信号采样定理，对这样的信号采样，采样后的序列的功率谱必然发生混叠，而且混叠过后的功率谱是什么？应该是在整个频率轴上都为无穷大。这显然不满足离散白噪声序列的定义。那离散白噪声序列跟连续白噪声有何关系？我觉得是对带限的连续白噪声进行采样后得到的，这个带限的连续白噪声信号的带宽刚好满足Nyquist抽样定理。这样采样过后的信号的功率谱就能满足定义了。
   答：连续白噪声是离散白噪声在采样间隔趋近于零的极限。对带限的连续白噪声按照Nyquist采样定理进行采样就得到信息不损失的白噪声序列，当连续白噪声的带宽趋近于无穷大时，采样率也趋近于无穷大（采样间隔趋近于零），此时不会发生频谱混叠。用极限的概念理解二者的关系就很清楚了。需要说明的是，任何实际系统都是工作于一定频带范围内的，带宽为无穷大的信号仅仅存在于理论分析中，在实际系统中找不到。
   3、对随机信号而言也有采样定理，这个采样定理是针对功率谱而言的。具体的证明可以参看陆大金老师的随机过程教材。（清华的博士入学考试指定的参考教材）
   4、对于不限带的白噪声，已经分析的比较清楚了。
   而对于限带白噪声，我认为既然考虑采样定理，那么连续的限带白噪声可以利用采样函数作为正交基的系数来表示，这些系数就是对应的噪声采样值，这个过程就是连续噪声的离散化过程，以上分析也是分析连续信道容量使用的方法。
   那么在数字通信中我们讨论的噪声实际就是这些离散的以采样函数为正交基的系数（即噪声采样值），这时分析这些噪声采样值可知相关函数就是 N0×delta(n)，这里delta(n)是离散的冲激函数。也即功率为N0×delta(0)＝N0为有限值。以上分析具体可以参考John Proakis的<Digital Communications>一书。
有一个概念错误需要指出：“高斯白噪声的幅度服从高斯分布”的说法是错误的，高斯噪声的幅度服从瑞利分布。
另外，还必须区分高斯噪声和白噪声两个不同的概念。高斯噪声是指噪声的概率密度函数服从高斯分布，白噪声是指噪声的任意两个采样样本之间不相关，两者描述的角度不同。白噪声不必服从高斯分布，高斯分布的噪声不一定是白噪声。当然，实际系统中的热噪声是我们一般所说的白噪声的主要来源，它是服从高斯分布的，但一般具有有限的带宽，即常说的窄带白噪声，严格意义上它不是白噪声。
信号中高斯白噪声在频域中是否仍为高斯白噪声？谢谢。
   严格来说，你这种提问的方法是有问题的，因为白噪声从定义上说就是指随机序列在时间上不相关。问题应该这样问：高斯白噪声序列变换到频域后是否仍然不相关？由于傅立叶变换是一种线性变换，高斯白噪声序列变换到频域后肯定服从高斯分布，而且仍然不相关。因为对一个满秩矩阵进行正交变换（傅立叶变换是一种正交变换）得到的矩阵仍然是满秩矩阵。
    当然，以上说法只在时间无穷的意义上是正确的。对任何有限点的实际序列，在相关的意义上看，即使用循环相关，得到的也是周期性相关函数，所以严格意义上不能称为白噪声；在分布特性上看，根据大数定理，只有时间趋于无穷时，一个序列的概率密度函数才能真正服从某一分布。从一个服从高斯分布的无限长序列中截取一段（时间加窗），理论上会导致其失去严格的高斯分布特性。但是，从实际应用的角度，我们一般并不从理论上这样较真，总是在背景噪声是高斯白噪声这样的前提下推导公式，预测系统在任意时刻（无穷时间上的一个时刻）的性能，信号处理时的有限点高斯白噪声样本虽然从严格理论意义上看已不是高斯白噪声，但还是把它当作高斯白噪声来处理。这样做的结果是，系统的整体性能在某一时刻可能与理论公式推导的性能有出入，但在无限时间的意义上看，系统性能会趋于理论分析结果。也是基于这一思想，我们经常用Monte-Carlo仿真预测系统的性能。
一维(实数)高斯白噪声的幅度是服从高斯分布的。只有二维的(复数)高斯白噪声的幅值是服从瑞利分布的。更高维的高斯白噪声的幅值则是服从x²分布的。
       错误！什么叫信号的幅度？幅度就是实信号的绝对值和复信号的模。因此，即使是一维的高斯白噪声，其幅度也不会服从高斯分布，而应该服从瑞利分布。二维不相关的复高斯白噪声包络服从指数分布（x²分布的自由度为2的特例）。n个不相关的复高斯白噪声序列叠加后的复信号包络服从自由度为2n的x²分布。这些在教科书上写得很清楚。
一个总结：
1. 高斯分布随机变量的绝对值的分布既不是高斯分布，也不是瑞利分布（见附件）；高斯分布随机变量的平方服从自由度为1的(x²)分布；实部和虚部均服从高斯分布且统计独立的复随机变量的模服从瑞利分布；实部和虚部均服从高斯分布且统计独立的复随机变量的模的平方服从指数分布（或自由度为2的(X2)分布）；N个实部和虚部均服从高斯分布且统计独立的复随机变量的模的平方和服从自由度为2N的(X2)分布。具体推导见附件。
2. 从概念上，高斯分布随机变量不存在“模”的说法，只能说“绝对值”（属于随机变量的函数）。在雷达领域，经常说“高斯噪声中信号的模服从瑞利分布”，这句话隐含着雷达信号包含I、Q两个正交通道。
3. 高斯噪声和白噪声是两个不同的概念，这一点大家没有异议（见我9月29日的帖子），我就不重复了。
4. 由于傅立叶变换是一种线性运算，高斯分布随机变量样本的傅立叶变换是存在的，而且仍然是高斯分布。但某一个随便变量样本的傅立叶变换不能代表随机序列的性质，描述随机信号的频率特性要用功率谱密度，也就是随机信号的相关函数的傅立叶变换。

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