矩阵论复习笔记:矩阵直积及其应用

1.矩阵直积及其应用类题目

1.1 常用矩阵直积知识回顾

直积常用性质:

1.A⨂B≠B⨂AA\bigotimes B \neq B\bigotimes AA⨂B=B⨂A
2.(A1+A2)⨂B=A1⨂B+A2⨂B(A_1+A_2)\bigotimes B=A_1\bigotimes B+A_2\bigotimes B(A1+A2)⨂B=A1⨂B+A2⨂B
3.(A⨂B)⨂C=A⨂(B⨂C)(A\bigotimes B)\bigotimes C=A\bigotimes (B\bigotimes C)(A⨂B)⨂C=A⨂(B⨂C)
4.若A1,A2A_1,A_2A1,A2可以做乘法运算，B1,B2B_1,B_2B1,B2可以做乘法运算:
(A1⨂A2)(B1⨂B2)=(A1A2)⨂(B1B2)(A_1\bigotimes A_2)(B_1\bigotimes B_2)=(A_1A_2)\bigotimes(B_1B_2) (A1⨂A2)(B1⨂B2)=(A1A2)⨂(B1B2)
5.若A,BA,BA,B可以求逆:
(A⨂B)−1=A−1⨂B−1(A \bigotimes B)^{-1}=A^{-1}\bigotimes B^{-1} (A⨂B)−1=A−1⨂B−1
若不能求逆运算则:
(A⨂B)+=A+⨂B+(A\bigotimes B)^{+}=A^{+}\bigotimes B^{+} (A⨂B)+=A+⨂B+
6.(A⨂B)H=AH⨂BH(A\bigotimes B)^H=A^H\bigotimes B^H(A⨂B)H=AH⨂BH
7.det(A⨂B)=(detA)n(detB)m(A∈Cm×m,B∈Cn×n)det(A\bigotimes B)=(detA)^n(detB)^m(A\in C^{m\times m},B\in C^{n\times n})det(A⨂B)=(detA)n(detB)m(A∈Cm×m,B∈Cn×n)
8.tr(A⨂B)=(trA)⨂(trB)tr(A\bigotimes B)=(trA)\bigotimes (trB)tr(A⨂B)=(trA)⨂(trB)
9.rank(A⨂B)=rankA⨂rankBrank(A\bigotimes B)=rankA\bigotimes rankBrank(A⨂B)=rankA⨂rankB
10 eI⨂A=I⨂eA,eA⨂I=A⨂Ie^{I \bigotimes A} = I\bigotimes e^A,e^{A\bigotimes I} = A\bigotimes IeI⨂A=I⨂eA,eA⨂I=A⨂I
11.e(A⨂In+Im⨂B)=eA⨂eBe^{(A\bigotimes I_n+I_m \bigotimes B)}=e^A\bigotimes e^Be(A⨂In+Im⨂B)=eA⨂eB
12.设f(A,B)=∑i=1l1∑j=1l2cijAi⨂Bjf(A,B)=\sum_{i=1}^{l_1}\sum_{j=1}^{l_2}c_{ij}A^{i}\bigotimes B^{j}f(A,B)=∑i=1l1∑j=1l2cijAi⨂Bj对应的二元多项式为;f(λ,μ)=∑i=1l1∑j=1l2cij(λ)i(μ)jf(\lambda,\mu)=\sum_{i=1}^{l_1}\sum_{j=1}^{l_2}c_{ij}(\lambda)^i(\mu)^jf(λ,μ)=∑i=1l1∑j=1l2cij(λ)i(μ)j

若AAA的特征值为λ1,λ2,...λm\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_mλ1,λ2,...λm,BBB的特征值为μ1,μ2,...μn\mu_1,\mu_2,...\mu_nμ1,μ2,...μn。得到的f(A,B)f(A,B)f(A,B)的所有特征值为:
f(λs,μr)=∑i=1l1∑j=1l2cijλsiμrjs=1,2..m,r=1,2..nf(\lambda_s,\mu_r)=\sum_{i=1}^{l_1}\sum_{j=1}^{l_2}c_{ij}\lambda_s^i\mu_r^j\\ s=1,2..m,r = 1,2..n f(λs,μr)=i=1∑l1j=1∑l2cijλsiμrjs=1,2..m,r=1,2..n

1.2 线性矩阵方程可解性

设A∈Cm×p,X∈Cp×q,B∈Cq×nA\in C^{m\times p},X\in C^{p\times q},B\in C^{q\times n}A∈Cm×p,X∈Cp×q,B∈Cq×n,vecˉ(X)\bar{vec}(X)vecˉ(X)为XXX的行拉直向量，则有:
vecˉ(AXB)=(A⨂BT)vecˉ(X)\bar{vec}(AXB)=(A\bigotimes B^T)\bar{vec}(X) vecˉ(AXB)=(A⨂BT)vecˉ(X)
设Am×mA_{m\times m}Am×m的特征值为λ1,λ2,...λm\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_mλ1,λ2,...λm且Bn×nB_{n\times n}Bn×n的特征值为μ1,μ2,...μn\mu_1,\mu_2,...\mu_nμ1,μ2,...μn,方程∑k=0lAkXBk=F\sum_{k=0}^lA^kXB^k=F∑k=0lAkXBk=F有唯一解的充要条件是∀λi,μj\forall \lambda_i,\mu_j∀λi,μj,有∑k=0l(λiμj)k≠0\sum_{k=0}^l(\lambda_i\mu_j)^{k}\neq 0∑k=0l(λiμj)k=0。方程∑k=0lAkXBk=O\sum_{k=0}^lA^kXB^k=O∑k=0lAkXBk=O非零解的充要条件是∃λi,μj\exists \lambda_i,\mu_j∃λi,μj,有∑k=0l(λiμj)k=0\sum_{k=0}^l(\lambda_i\mu_j)^{k}= 0∑k=0l(λiμj)k=0。同样的,对于以下的方程:
dY(t)dt=AY(t)+Y(t)B,Y(t)∣t=0=F\frac{dY(t)}{dt}=AY(t)+Y(t)B,Y(t)|_{t=0}=F dtdY(t)=AY(t)+Y(t)B,Y(t)∣t=0=F
若A,BA,BA,B的特征值之和不等于零,
如果积分X∫0∞eAtFeBtdtX \int_0^{\infty}e^{At}Fe^{Bt}dtX∫0∞eAtFeBtdt存在,则方程有唯一的解:

X=−∫0∞eAtFeBtdtX=-\int_0^{\infty}e^{At}Fe^{Bt}dt X=−∫0∞eAtFeBtdt

若特征值实部Re(λi)<0,Re(μj)<0Re(\lambda_i)<0,Re(\mu_j)<0Re(λi)<0,Re(μj)<0，则XXX有唯一的解X=−∫0∞eAtFeBtdtX=-\int_0^{\infty}e^{At}Fe^{Bt}dtX=−∫0∞eAtFeBtdt

换句话说求解得到该方程的唯一解为:
X=eAtX0eBtX=e^{At}X_0e^{Bt} X=eAtX0eBt

2.例题

设nnn阶方阵AAA的特征值为:λ1,λ2,...λn\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_nλ1,λ2,...λn,则矩阵方程AXA2+XA−X=0AXA^2+XA-X=0AXA2+XA−X=0只有唯一零解的充分必要条件()。

解:对该矩阵方程进行行拉直向量变换:
vecˉ(AXA2+XA−X)=0\bar{vec}(AXA^2+XA-X)=0 vecˉ(AXA2+XA−X)=0
得到：
(A⨂(A2)T+I⨂AT−I⨂I)vecˉ(X)=0(A\bigotimes (A^2)^T+I\bigotimes A^T -I\bigotimes I)\bar{vec}(X)=0 (A⨂(A2)T+I⨂AT−I⨂I)vecˉ(X)=0

f(A,AT)=(A⨂(A2)T+I⨂AT−I⨂I)f(A,A^T)=(A\bigotimes (A^2)^T+I\bigotimes A^T -I\bigotimes I)f(A,AT)=(A⨂(A2)T+I⨂AT−I⨂I)的二元多项式为:
f(x,y)=xy2+y−1f(x,y)=xy^2+y-1 f(x,y)=xy2+y−1
若要使得上述线性方程组有唯一零解,即说明其特征值必须全部非零。即∀μi,μj,f(μi,μj)≠0\forall \mu_i,\mu_j,f(\mu_i,\mu_j)\neq 0∀μi,μj,f(μi,μj)=0。

即:
μiμj2+μj−1≠0(i,j=1,2..n)\mu_i\mu_j^2+\mu_j-1\neq 0(i,j=1,2..n) μiμj2+μj−1=0(i,j=1,2..n)