矩阵论复习笔记:盖尔圆的隔离技巧

2024-05-06 19:10:55

1.Gerschgorin定理

对于复数矩阵C={cij}n×nC=\{c_{ij}\}_{n\times n}C={cij}n×n,其矩阵特征值满足:
∣λ−ckk∣≤∑j≠k∣ckj∣∣λ−ckk∣≤∑j≠k∣cjk∣|\lambda-c_{kk}|\leq\sum_{j \neq k}|c_{kj}|\\ |\lambda-c_{kk}|\leq\sum_{j\neq k}|c_{jk}| ∣λ−ckk∣≤j=k∑∣ckj∣∣λ−ckk∣≤j=k∑∣cjk∣
且kkk个圆盘组成的联通区域包含kkk个矩阵特征值。

2.例题

对A=(−i0−11−i7i1020−20−190−6−9)A=\begin{pmatrix} -i&0&-1&1\\-i&7i&1&0\\2&0&-20&-1\\9&0&-6&-9\end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎛−i−i2907i00−11−20−610−1−9⎠⎟⎟⎞矩阵进行隔离其特征值(要求画图显示)。

解:先画出zzz域下的AAA的盖尔圆:

看图发现要隔离联通区域的话首先得缩小G4G_4G4,那么可以设DDD如下:
D=(111a)D = \begin{pmatrix} 1& & & \\ &1& & \\ & &1&\\& & & a\end{pmatrix} D=⎝⎜⎜⎛111a⎠⎟⎟⎞
其中0<a<10<a<10<a<1,那么隔离后的矩阵AAA为:
B=DAD−1=(−i0−11/a−i7i1020−20−1/a9a0−6a−9)B=DAD^{-1}=\begin{pmatrix} -i&0&-1&1/a\\-i&7i&1&0\\2&0&-20&-1/a\\9a&0&-6a&-9\end{pmatrix} B=DAD−1=⎝⎜⎜⎛−i−i29a07i00−11−20−6a1/a0−1/a−9⎠⎟⎟⎞
得到新的盖尔圆如下:
G1∗：∣z+i∣≤1+1aG2∗：∣z−7i∣≤2G3∗：∣z+20∣≤2+1aG4∗:∣z+9∣≤15aG_1^*：|z+i|\leq1+\frac{1}{a}\\ G_2^*：|z-7i|\leq 2\\ G_3^*：|z+20|\leq 2+\frac{1}{a}\\ G_4^*:|z+9|\leq15a G1∗：∣z+i∣≤1+a1G2∗：∣z−7i∣≤2G3∗：∣z+20∣≤2+a1G4∗:∣z+9∣≤15a
重点在于要使得G4∗G_4^*G4∗不与其他三个圆相交,可以得到:
G4∗与G1∗相离:∣9−i∣=82>1+1a+15aG4∗与G2∗相离:∣7i+9∣=130>2+15aG4∗与G3∗相离:∣11∣>2+1a+15aG_4^*与G_1^*相离:|9-i|=\sqrt{82}>1+\frac{1}{a}+15a\\ G_4^*与G_2^*相离:|7i+9|=\sqrt{130}>2+15a\\ G_4^*与G_3^*相离:|11|>2+\frac{1}{a}+15a\\ G4∗与G1∗相离:∣9−i∣=82>1+a1+15aG4∗与G2∗相离:∣7i+9∣=130>2+15aG4∗与G3∗相离:∣11∣>2+a1+15a
首先根据第一个式子发现尝试a=13a=\frac{1}{3}a=31发现条件成立,同时能满足后面两个式子，因此取a=13a=\frac{1}{3}a=31,得到隔离之后的盖尔圆如下:

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