一篇不大正经的关于数论的总结(未完

顶函数（$\lceil {x} \rceil$）、底函数（$\lfloor {x} \rfloor$）：

常称之为高斯（取整）函数。

定义：

顶函数：$\geq {x}$的最小整数。
底函数：$\leq {x}$的最大整数。
举个例子：

$1.\lceil {1.5} \rceil=2$
$2.\lfloor {1.5} \rfloor=1$
$3.\lceil {-1.5} \rceil=-1$
$4.\lfloor {-1.5} \rfloor =-2$

带余除法：

定义:

$对于任意整数a,b（a\geq b,b\neq 0）,$$存在q,r,满足a=qb+r（0\leq r \leq |b|）,且q，r唯一$
我们把a叫做被除数，b叫做除数，q叫做商，r叫做余数。
可以证明$q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor$（证明如下）

$\because这个是很显然的$
$\therefore q=\lfloor \left (\frac {a}{b}\right )\rfloor,r=a-b\lfloor \left(\frac {a}{b} \right)\rfloor$

整除：

定义：如果$a$能把$b$除尽，余数为0，那么就说是$b$被$a$整除，即$a|b$。

整除的性质：

自反性：对于任意$n$，有$n|n$。
传递性：若$a|b,b|c$，那么$a|c$。
反对称性：若$a|b,b|a$，即$a=b$。（对称性：若$a$满足$b\cdots$关系，那么$b$也满足$a\cdots$关系）
若$b|a,c|b$，则$c|a$。（证明如下）

$\because b|a,c|b$
$\therefore（所以必然存在两个整数x，y）使得a=xb$，$b=yc$
$又\therefore a=xyc$
$\because a/c=xy$
$\therefore c|a$
若$c|a,c|b$，则对任意数$x,y$，必有$c |（ax+by）。$（证明如下）

$\because c|a,c|b$
$\therefore （所以必然存在两个整数p，q）使得a=pc$，$b=qc$
$又\therefore c |（pcx+qcy）$
$c|c（px+qy）$
$\because 两边都有c$
$\therefore c（px+qy）是c的倍数$
$又\therefore c|(ax+by)$
若$b|a,a\neq 0$，则有$|b| \leq |a|$。（证明如下）

$\because b|a$
$\therefore （所以必然存在一个整数q）使得a=qb$
$又\therefore a是b的倍数，|b| \leq |a|$。
若$b|a,a\neq 0$，则$\left( \frac ab \right)|a$。（证明如下）

$\because b|a$
$\therefore （所以必然存在一个整数q）使得a=qb$
$又\therefore \left( \frac {a}{b} \right)=\left( \frac {qb}{b} \right)=q$
$\because a是q的倍数$
$\therefore q|a$
$又\therefore \left(\frac{a}{b}\right)|a$
若$b|a,c|a,b\bot c$，则$bc|a$。（举例如下）

$1.当a=12,b=1,c=6时，1|12,6|12,1\bot12,6|12。$
$2.当a=72,b=8,c=9时，8|72,9|72,8\bot9,72|72。（自反性：72|72）$
若$a|b,b|a$，则$|a|=|b|$。（反对称性）
若$a|b$，对任意整数$c$，则$a|bc$。（证明如下）

$\because a|b$
$\therefore b=xa，b是a的倍数$
$又\therefore乘上任意整数c，bc依旧是a的倍数$
$又\therefore a|bc$
若$a|b$，对于任意整数$m（m\neq0）$，则$ma|mb$。（证明如下）

$\because 这是显然的$
$\therefore ma|mb$

唯一分解定理（算术基本定理）：

$n=p_1^{r_1}*p_2^{r_2}*\cdots$
其中$p_i$是质数，$p_1=2,p_2=3 \cdots$以此类推

结论：

设$p$为质数，对于任意整数$a$，则有$p|a$或者$(p,a)=1$。（证明如下）

$\because p为质数$
$\therefore a要么是p的倍数，要么p\perp a。 $
$又\therefore p|a或者(p,a)=1$

约数和倍数：

推论：

在算术基本定理中，若$N$被唯一分解为$N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}$,其中$c_i$是正整数，$p_i$是质数且满足$p_1<p_2<\cdots p_m$,则$N$的正整数集合可写作$：$

{$p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_m^{b_m}$},其中$0\leq b_i \leq c_i$
N的正约数个数为$:$
\[(c_1+1)*(c_2+1)*\cdots*(c_m+1)=\prod_{i=1}^{m}(c_i+1)\]
$N$的所有正约数之和为$:$
\[(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{c_1})*\cdots*(1+p_m+p_m^2+\cdots+p_m^{c_m})=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^{j})\]

定义：

若$a|b,a$是$b$的约数，$b$是$a$的倍数，称$a$为$b$的因子（对于任何数$n$，至少有两个因子$1$和$n$本身，称它们为$n$的平凡因子，其他即为非平凡因子）。特别的，任何正整数都是$0$的约数。

约数的求法：

1.试除法：
因为约数总是成对出现，所以只需要从$1$ ~$\sqrt{n}$。时间复杂度$:O(\sqrt{n})$

#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;#define N 10086int a[N];int n;int cnt=0;int main(void) {ios::sync_with_stdio(false);cin>>n;//clock_t start = clock();for(int i=1; i<=sqrt(n); ++i) {if(n%i==0) {a[++cnt]=i;if(n/i!=i) a[++cnt]=n/i;}}for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";//clock_t ends = clock();//cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;return 0;
}

如果更改题意，给出$l,r$，要求求$l-r$之间的每个数的正约数集合。那么再用试除法，时间复杂度就为$O(N\sqrt{N})$，变得有点恶心，特别是在$N$非常大的时候。譬如跑$1-100000$。
消耗的时间如下：

运行代码如下：

#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;#define N 10086int a[N];int n;int cnt=0;int l,r;int main(void) {ios::sync_with_stdio(false);cin>>l>>r;clock_t start = clock();for(int j=l; j<=r; ++j) {memset(a,0,sizeof(a));cnt=0;
//      cin>>n;for(int i=1; i<=sqrt(j); ++i) {if(j%i==0) {a[++cnt]=i;if(j/i!=i) a[++cnt]=j/i;}}for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";cout<<"\n";}clock_t ends = clock();cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;return 0;
}

这个时候就要用到另一种方法。即：
2.倍数法：
对于任意数$x$，$1-N$中以$x$为约数的数就是$x,2x,3x\cdots \lfloor N/x \rfloor*x$。时间复杂度为$O(N \lg N)$
消耗时间如下：

代码如下：

#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;#define N 100860vector<int> a[N];int n;int main(void) {ios::sync_with_stdio(false);cin>>n;clock_t start = clock();for(int i=1; i<=n; ++i)for(int j=1; j<=n/i; ++j)a[i*j].push_back(i);for(int i=1; i<=n; ++i) {for(int j=0; j<a[i].size(); ++j) {cout<<a[i][j]<<" ";}cout<<"\n";}clock_t ends = clock();cout<<"\n Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;return 0;
}

GCD和LCM：

定义：

1.设$a$和$b$是两个整数，如果$d|a$且$d|b$，则称$d$是$a$与$b$的公因子。
2.设$a$和$b$是两个不全为$0$的整数，能使$d|a$和$d|b$成立的最大整数$d$，称它为$a$与$b$的最大公因子，或最大公约数，即$gcd(a,b)$。
3.设$a$和$b$是两个不全为$0$的整数，能使$a|d$和$b|d$成立的最小整数$d$，称它为$a$与$b$的最小公因子，即$lcm(a,b)$。

例题：

如果我们把$A$分解成了$2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots$，把$B$分解成了$2^{b_1}3^{b_2}5^{b_3}\cdots$如何快速求$gcd(A,B)$。（解如下）

$\because 假设d=gcd(A,B)$
$\therefore d|A,d|B,d最大$
$d=2^{p_1}3^{p_2}5^{p_3}\cdots$
$\therefore p_1 \leq a_1,p_1 \leq b_1$
$p_2 \leq a_2,p_2 \leq b_2$
$\cdots$
$p_1=min(a_1,b_1),p_2=min(a_2,b_2),\cdots$
$又\therefore d=2^{min(a_1,b_1)}3^{min(a_2,b_2)}\cdots$

2.如何快速求$lcm(A,B)$。（解如下）

$把min换成max即可$
$\because 设c=lcm(A,B)$
$\therefore c=2^{max(a_1,b_1)}3^{max(a_2,b_2)}\cdots$

$gcd(A,B)*lcm(A,B)=A*B=c*d$

欧几里得算法：

即辗转相除法。时间复杂度为$O(\lg n)$。
求$gcd$（给出$a,b$）：

$引理：若a>b,则gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$
$证：1.显然a-b,b的公因数也是a,b的公因数。$
$2.a,b的公因数也肯定是a-b,b的公因数。$
$3.a,b的公因数集合与a,b的一模一样，最大的当然也一样。（更相减损术）$
$所以解得gcd(a,b)=gcd(a, a\bmod b)=gcd(a\bmod b,b)$ $↰$

$↑$

再证明一下上面的式子？$↑$

$设c(a,b)表示a,b的所有公因数的集合，则gcd(a,b)是r(a,b)中最大的。$
$先尝试证明：a>b时,gcd(a,b)=gcd(a,a-b)(过程在上面)$
$要证这个，只需证r(a,b)=r(a,a-b)$
$假设d是a,b的公因数$
$(那么必然存在两个整数p,q)使得a=pd,b=qd→d(p-q)=a-b$
$a,b的公因数肯定是a,a-b的公因数,反之成立$
$gcd(a,b)=gcd(a,a\bmod b)(一直减一个数，余下的便是a\bmod b的余数)$
$举例:$
$a=20,b=3$
$即gcd(20,3)→(17,3)→(14,3)→(11,3)→(8,3)→(5,3)→(2,3)$

Code：

inline int gcd(int a,int b){if(b==0) return a;return gcd(b,a%b);//return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

一条性质：
记$f[n]$为斐波那契数列的第$n$项，则有$gcd(f[a],f[b])=f(gcd[a,b])$。

计算$lcm$：
$lcm=a/gcd(a,b)*b$
错误做法：
$lcm=a*b/gcd(a,b)$（会爆int）

互质：

若$gcd(a,b)=1$，那么$a\perp b$。

基本定理：

1.对于任意两个质数$n,m$，$n\perp m$。
2.对于任意两个相邻的整数$n,m$，$n\perp m$。
3.若$a=1$，对于任意一个自然数$m$，$a\perp m$。
4.一个质数$m$，一个合数$n$，若$n$不是$m$的倍数，$n\perp m$。

同余：

定义：

若两个整数$a,b$，且它们的差$a-b$能够被某个自然数$m$所整除，则称$a$与$b$对模$m$同余。记作$a\equiv b(\bmod m)$,若$m$的值可以由上下文推出时，简写为$a\equiv b$。

性质：

1.自反性：$a\equiv a$。
2.对称性：若$a\equiv b$，则%b\equiv a%。
3.传递性：若$a\equiv b,b\equiv c$，则$a\equiv c$。
4.同加性：若$a\equiv b$，则$a+c\equiv b+c$。
5.同乘性：（1）若$a\equiv b$，则$a*c\equiv b*c$。
（2）若$a\equiv b,c\equiv d$,则$a*c\equiv b*d$。
6.同幂性：若$a\equiv b$,则$a^n\equiv b^n$。
7.同余式相加：若$a\equiv b,c\equiv d$，则$a\pm c\equiv b\pm d$。
8.同余式相乘：若$a\equiv b,c\equiv d$，则$ac\equiv bd$。
以上性质都是很显然的。

容斥原理：

基本思想：

在计算的时候，总是会有遗漏或者是重复计算的部分，为了使重复计算的部分不被重复计算，可以先算出所有可能，然后再把重复计算的部分减去。

举例：

假设某虎有$A$个妹子，cgp有$B$个妹子，他们想要知道他们一共有多少个不同的妹子（每个人都有很多，总会有相同妹子）。
先用两个圆圈表示出每个人所拥有的妹子。

then。

那么红色的部分代表的是两个人都有的妹子。
如何计算他们俩一共有多少种不同的妹子？
就需要先把他俩所拥有的妹子加起来，然后再减去红色的部分都有的妹子，就是所求。
则$A\cup B=A+B-A\cap B$。
那么再假设某虎依旧有$A$个妹子，cgp依旧也有$B$个妹子，突然sjp来了，sjp也有妹子，sjp突然也对这产生兴趣，于是某虎有$A$个妹子，cgp有$B$个妹子，sjp有$C$个妹子，他们想要知道他们一共有多少种不同的妹子（每个人都有很多，总会有相同妹子）。
那么我们先用三个圆圈表示出每个人所拥有的妹子。

then。

那么蓝色的部分代表的是三个人都有的妹子，绿色的部分代表的是某虎和cgp都有的妹子，橙色的部分代表的是cgp和sjp都有的妹子，紫色部分代表的是某虎和sjp都有的妹子。
那么如何计算他们仨一共有多少种不同的妹子？
就需要先把他们仨所拥有的妹子都加起来，然后再减去绿色的，紫色的，橙色的部分相同的妹子，最后再加上蓝色的部分的妹子，就是所求。
则$A\cup B\cup C=A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C$。

转载于:https://www.cnblogs.com/morbidity/p/10871967.html