线性代数【一】：行列式的概念与计算

本节为线性代数复习笔记的第一部分，行列式的概念与计算，主要包括：行列式的几何意义，行列式的展开计算（余子式，代数余子式），行列式的性质，特殊的五个行列式以及克拉默法则。

1. 行列式的几何意义

∣a11a12a21a22∣\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix} \right|∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣表示平行四边形的面积，记α1=[a11,a12]\alpha_1=[a_{11},a_{12}]α1=[a11,a12]，α2=[a21,a22]\alpha_2=[a_{21},a_{22}]α2=[a21,a22]，如下图所示，两个向量所成平行四边形为OABC：

二阶行列式的值即为该平行四边形的面积，推导如下：

同理，三阶行列式可以表示平行六面体的体积。

2. 行列式展开计算

2.1 余子式

n阶行列式中，去掉元素aija_{ij}aij所在的第iii行第jjj列的元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素aija_{ij}aij的余子式，记为MijM_{ij}Mij。

2.2 代数余子式

Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij

2.3 行列式展开式

|A|={ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin=Σj=1naijAij(按行展开)a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj=Σi=1naijAij(按列展开)\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\Sigma_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(按行展开)\\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\Sigma_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(按列展开)\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin =Σj=1naijAij(按行展开)a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj =Σi=1naijAij(按列展开)
【计算时应令某行/列出现尽可能多的零】

3. 行列式的七个性质

行列互换，行列式值不变，即|A|=|A^T|
行列式某行/列元素全为0，行列式值为0
行列式某行/列元素有非零公因子k，可将k提到行列式外
行列式某行/列元素均是两个元素之和，可将行列式拆为两个行列式之和
行列式某两行/列互换，行列式值反号
行列式某两行/列元素相等或成比例，行列式值为0
行列式某行/列的k倍加到另一行/列，行列式值不变

4.五个特殊的行列式

4.1 上/下三角行列式

∣a110...0a11a22...0............an1an2...ann∣=∣a11a12...a1n0a22...a2n............00...ann∣\left| \begin{matrix} a_{11}&0&...&0\\a_{11}&a_{22}&...&0 \\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\0&a_{22}&...&a_{2n} \\...&...&...&...\\0&0&...&a_{nn} \end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣a11a11...an10a22...an2............00...ann∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a110...0a12a22...0............a1na2n...ann∣∣∣∣∣∣∣∣
=∣a11a22...ann∣=∏i=1naii=\left| \begin{matrix} a_{11}&&&\\&a_{22}\\&&...&\\&&&a_{nn}\end{matrix} \right|=\prod^n_{i=1}a_{ii}=∣∣∣∣∣∣∣∣a11a22...ann∣∣∣∣∣∣∣∣=∏i=1naii

4.2 副对角线行列式

∣a11a12...a1na11a22...0............an10...0∣=∣00...a1n00...a22............an1an,2...ann∣\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{11}&a_{22}&...&0 \\...&...&...&...\\a_{n1}&0&...&0 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0&0&...&a_{1n}\\0&0&...&a_{22} \\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n,2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣∣∣a11a11...an1a12a22...0............a1n0...0∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣00...an100...an,2............a1na22...ann∣∣∣∣∣∣∣∣
=∣a1na2，n−1...an1∣=\left| \begin{matrix} &&&a_{1n}\\&&a_{2，n-1}\\&&...&\\a_{n1}&&&\end{matrix} \right|=∣∣∣∣∣∣∣∣an1a2，n−1...a1n∣∣∣∣∣∣∣∣

4.3 特殊的拉普拉斯展开式

∣Am×mOOBn×n∣=∣ACOB∣=\left|\begin{matrix}A_{m\times m}&O\\O&B_{n\times n}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}A&C\\O&B\end{matrix}\right|=∣∣∣∣Am×mOOBn×n∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣AOCB∣=∣A∣∣B∣\left|\begin{matrix}A&O\\C&B\end{matrix}\right|=|A||B|∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣A∣∣B∣

∣OAn×nBm×mO∣=∣CABO∣=∣OABC∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\left|\begin{matrix}O&A_{n\times n}\\B_{m\times m}&O\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}C&A\\B&O\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}O&A\\B&C\end{matrix}\right|=(-1)^{mn}|A||B|∣∣∣∣OBm×mAn×nO∣∣∣∣=∣∣∣∣CBAO∣∣∣∣=∣∣∣∣OBAC∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣

4.4 范德蒙行列式

∣x10x20...xn0x11x21...xn1............x1n−1x2n−1...xnn−1∣=∏1≤i≤j≤n(xj−xi)\left|\begin{matrix}x_1^0&x_2^0&...&x_n^0\\x_1^1&x_2^1&...&x_n^1\\...&...&...&...\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_n^{n-1}&\end{matrix}\right|=\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(x_j-x_i)∣∣∣∣∣∣∣∣x10x11...x1n−1x20x21...x2n−1............xn0xn1...xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤i≤j≤n(xj−xi)

4.5 行和相等行列式

∣abb...bbab...b...............bbb...a∣=[a+(n−1)b](a−b)n−1\left|\begin{matrix}a&b&b&...&b\\b&a&b&...&b\\...&...&...&...&...\\b&b&b&...&a\end{matrix}\right|=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}∣∣∣∣∣∣∣∣ab...bba...bbb...b............bb...a∣∣∣∣∣∣∣∣=[a+(n−1)b](a−b)n−1
推导的话，可以将1~n-1行都加到最后一行，提公因数[a+(n-1)b]，然后把最后一行的-1倍逐一加到各行，将行列式按第一行展开。

5. 抽象型计算

eg.eg.eg.α1,α2,α3,β,γ均为4维列向量，且∣γ,α1,α2,α3∣=n\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta,\gamma均为4维列向量，且|\gamma,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=nα1,α2,α3,β,γ均为4维列向量，且∣γ,α1,α2,α3∣=n，∣α1,β+γ,α2,α3∣=m，则∣α1,α2,α3,3β∣=___|\alpha_1,\beta+\gamma,\alpha_2,\alpha_3|=m，则|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,3\beta|=\_\_\_∣α1,β+γ,α2,α3∣=m，则∣α1,α2,α3,3β∣=___.
解：∣α1,α2,α3,3β∣=3∣α1,α2,α3,β∣=3[∣α1,β+γ,α2,α3∣+∣γ,α1,α2,α3∣]=3(m+n)解：|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,3\beta|=3|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta|=3[|\alpha_1,\beta+\gamma,\alpha_2,\alpha_3|+|\gamma,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|]=3(m+n)解：∣α1,α2,α3,3β∣=3∣α1,α2,α3,β∣=3[∣α1,β+γ,α2,α3∣+∣γ,α1,α2,α3∣]=3(m+n)
（行列式列互换，值反号）

6. 克拉默法则

由n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组：
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...an1x1+an2x2+...+annxn=bn\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...an1x1+an2x2+...+annxn=bn

若该方程组的系数行列式|A|≠0\neq 0=0，则方程组有唯一解:
xi=∣Ai∣∣A∣x_i=\frac{|A_i|}{|A|}xi=∣A∣∣Ai∣

∣Ai∣|A_i|∣Ai∣表示|A|中第i列元素替换成常数项b1,b2,...,bnb_1,b_2,...,b_nb1,b2,...,bn之后所构成的行列式。

推论： 由n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组：
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0...an1x1+an2x2+...+annxn=0\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0...an1x1+an2x2+...+annxn=0

若该方程组的系数行列式|A|≠0\neq 0=0，则方程组有唯一零解。若有非零解，则|A|=0。

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