解析几何 —

1. 椭圆的定义及其标准方程

设在平面上给定了两个点 F1F_1 和 F2F_2，它们之间的距离是 2c(c>0)2c\left(c>0\right)。我们来求到 F1F_1 和 F2F_2 的距离之和是一个常数 2a(a>c)2a\left(a>c\right) 的点 MM 的轨迹，点 MM 的轨迹叫做椭圆，点 F1F_1 和 F2F_2 叫做椭圆的焦点。

设椭圆上任意点的坐标为 (x,y)\left(x,y\right)，依据椭圆定义：

(x−c)2+(y−0)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√+(x+c)2+(y−0)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=2a

\sqrt{\left(x-c\right)^2+\left(y-0\right)^2}+\sqrt{\left(x+c\right)^2+\left(y-0\right)^2}=2a

可化为如下的标准方程：

x2a2+y2b2=1

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

其中 b2=c2−a2b^2=c^2-a^2。

2. 椭圆面积和周长

椭圆面积（ a=ba=b 时，椭圆特化为圆，此时面积为 πa2\pi a^2）：

S=πab

S=\pi ab

椭圆周长（同理 a=ba=b 时，）：

L=2πb+4(a−b)

L=2\pi b+4(a-b)

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