【证明】【一题多解】 —

0. 数学归纳法

(1+x)⋅(1−x)=(1+x)−(1+x)x=1+(x−x)−x2=1−x2(1+x)⋅(1−x)=(1+x)−(1+x)x=1+(x−x)−x2=1−x2

\begin{split} (1+x)\cdot(1-x)&=(1+x)-(1+x)x\\ &=1+(x-x)-x^2\\ &=1-x^2 \end{split}

(1+x+x2)⋅(1−x)=(1+x+x2)⋅1−(1+x+x2)⋅x=1+(x+x2)−(1+x)x−x3=1+(x+x2)−(x+x2)−x3=1−x3(1+x+x2)⋅(1−x)=(1+x+x2)⋅1−(1+x+x2)⋅x=1+(x+x2)−(1+x)x−x3=1+(x+x2)−(x+x2)−x3=1−x3

\begin{split} (1+x+x^2)\cdot(1-x)&=(1+x+x^2)\cdot 1-(1+x+x^2)\cdot x \\ &=1+(x+x^2)-(1+x)x-x^3\\ &=1+(x+x^2)-(x+x^2)-x^3\\ &=1-x^3 \end{split}

(1+x+x2+⋯+xn)(1−x)=(1+x+x2+⋯+xn)−(1+x+x2+⋯+xn)x=1+(x+x2+⋯+xn)−(1+x+⋯+xn−1)x−xn+1=1−xn+1(1+x+x2+⋯+xn)(1−x)=(1+x+x2+⋯+xn)−(1+x+x2+⋯+xn)x=1+(x+x2+⋯+xn)−(1+x+⋯+xn−1)x−xn+1=1−xn+1

\begin{split} (1+x+x^2+\cdots+x^n)(1-x)&=(1+x+x^2+\cdots+x^n)-(1+x+x^2+\cdots+x^n)x\\ &=1+(x+x^2+\cdots+x^n)-(1+x+\cdots+x^{n-1})x-x^{n+1}\\ &=1-x^{n+1} \end{split}

两边同时除以 1−x1−x1-x：

1+x+⋯+xn=1−xn+11−x1+x+⋯+xn=1−xn+11−x

1+x+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}

1. 等比数列前 n 项和

根据上面的结论：1−xn1−xn1-x^n 可以展开为 1−xn=(1+x+⋯+xn−1)(1−x)1−xn=(1+x+⋯+xn−1)(1−x)1-x^n=(1+x+\cdots+x^{n-1})(1-x)：

1−xn+1(1−x)(1+x+x2+⋯+xn)1+x+⋯+xn=1−xn+1=1−xn+1=1−xn+11−x1−xn+1=1−xn+1(1−x)(1+x+x2+⋯+xn)=1−xn+11+x+⋯+xn=1−xn+11−x

\begin{split} 1-x^{n+1}&=1-x^{n+1}\\ (1-x)(1+x+x^2+\cdots+x^n)&=1-x^{n+1}\\ 1+x+\cdots+x^n&=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{split}

当然这种证明有点画蛇添足，多此一举。

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