Gram-Schmidt正交化方法（过目不忘）
标准正交基的Gram-Schmidt求解方法（过目不忘）
- 一、定理
- 二、几何意义
- 1、两向量垂直
- 2、定义垂直操作
- 3、α2\alpha_2α2和α3\alpha_3α3同时关于β1\beta_1β1垂直变换
- 4、β3′\beta_3'β3′关于β2\beta_2β2进行垂直变换
一、定理
如果α1,…,αn\alpha_1,\dots,\alpha_nα1,…,αn是n维Euclid空间V的一个基（基肯定是线性无关的），若令
β1=α1\beta_1 = \alpha_1 β1=α1β2=α2−<α2⋅β1><β1⋅β1>β1\beta_2 = \alpha_2 - \frac{<\alpha_2·\beta_1>}{<\beta_1·\beta_1>}\beta_1 β2=α2−<β1⋅β1><α2⋅β1>β1⋮\vdots ⋮βn=α2−<α2⋅β1><β1⋅β1>β1−,⋯−<αn⋅βn−1><βn−1⋅βn−1>βn−1,\beta_n = \alpha_2 - \frac{<\alpha_2·\beta_1>}{<\beta_1·\beta_1>}\beta_1 - ,\dots - \frac{<\alpha_n·\beta_{n-1}>}{<\beta_{n-1}·\beta_{n-1}>}\beta_{n-1}, βn=α2−<β1⋅β1><α2⋅β1>β1−,⋯−<βn−1⋅βn−1><αn⋅βn−1>βn−1,
则β1,…,βn\beta_1,\dots,\beta_nβ1,…,βn就是V的一个正交基.若再令
ei=βi∣∣βi∣∣,i=1,2,…,n,e_i = \frac{\beta_i}{||\beta_i||},\quad i = 1,2,\dots,n, ei=∣∣βi∣∣βi,i=1,2,…,n,就得到了V的标准正交基e1,e2,…,ene_1,e_2,\dots,e_ne1,e2,…,en.
\quad虽然上面的公式已经十分有规律了，时间长了还难免会把小角标记错。书上也有推导的原理（非常简单），但是数学公式还是太抽象了；那我们可以想一下3维Euclid空间中该公式的意义，然后再将其推广更高纬度的空间中去。
二、几何意义
\quad简单推导一下。
1、两向量垂直
如果α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3α1,α2,α3是3维Euclid空间VVV的一个基，β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3β1,β2,β3是待求的正交基，设
β1=α1,\beta_1 = \alpha_1, β1=α1,β2=α2−kβ1,由于正交求得k=<α2⋅β1><β1⋅β1>.\beta_2 = \alpha_2 - k\beta_1,由于正交求得k = \frac{<\alpha_2·\beta_1>}{<\beta_1·\beta_1>}. β2=α2−kβ1,由于正交求得k=<β1⋅β1><α2⋅β1>.
我们考虑一下β2\beta_2β2是怎么得到的：在α2\alpha_2α2的基础上减了kβ1k\beta_1kβ1，这个值是α2\alpha_2α2在α1\alpha_1α1上的投影长度。这个操作之后确实就垂直了，如下图所示：
2、定义垂直操作
我们定义下面操作
βi=αi−<αi⋅βj><βj⋅βj>βj\beta_i = \alpha_i -\frac{<\alpha_i·\beta_j>}{<\beta_j·\beta_j>}\beta_j βi=αi−<βj⋅βj><αi⋅βj>βj
为αi\alpha_iαi关于βj\beta_jβj的垂直变换。
3、α2\alpha_2α2和α3\alpha_3α3同时关于β1\beta_1β1垂直变换
在α2\alpha2α2关于β1\beta_1β1垂直变换得到β2\beta_2β2后，我们对α3\alpha_3α3也进行关于β1\beta_1β1垂直变换得到β3′\beta_3'β3′,有
β3′=α3−<α3⋅β1><β1⋅β1>β1\beta_3' = \alpha_3 -\frac{<\alpha_3·\beta_1>}{<\beta_1·\beta_1>}\beta_1 β3′=α3−<β1⋅β1><α3⋅β1>β1
此时假设空间直角坐标系的x,z轴与β1、β2\beta_1、\beta_2β1、β2重合;β3′\beta_3'β3′在平面xOyxOyxOy，垂直β1\beta_1β1,不垂直β2\beta_2β2。那么在三维空间中绘制出来的效果如下：
4、β3′\beta_3'β3′关于β2\beta_2β2进行垂直变换
明显我们离完成正交基的求解只有一步了：只需将β3′\beta_3'β3′垂直变换后得到β3\beta_3β3使其垂直β2\beta_2β2。
β3=β3′−<β3′⋅β2><β2⋅β2>β2,\beta_3 = \beta_3' - \frac{<\beta_3'·\beta_2>}{<\beta_2·\beta_2>}\beta_2, β3=β3′−<β2⋅β2><β3′⋅β2>β2,由于<β3′⋅β2>=<(α3−<α3⋅β1><β1⋅β1>β1)⋅β2>=<α3⋅β2>,由于<\beta_3'·\beta_2> = <(\alpha_3 -\frac{<\alpha_3·\beta_1>}{<\beta_1·\beta_1>}\beta_1)·\beta_2> = <\alpha_3·\beta_2>, 由于<β3′⋅β2>=<(α3−<β1⋅β1><α3⋅β1>β1)⋅β2>=<α3⋅β2>,β3=α3−<α3⋅β1><β1⋅β1>β1−<α3⋅β2><β2⋅β2>β2\beta_3= \alpha_3 - \frac{<\alpha_3·\beta_1>}{<\beta_1·\beta_1>}\beta_1 - \frac{<\alpha_3·\beta_2>}{<\beta_2·\beta_2>}\beta_2 β3=α3−<β1⋅β1><α3⋅β1>β1−<β2⋅β2><α3⋅β2>β2\quad至此我们已经得到了三维空间中的正交基β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3β1,β2,β3了，观察β3的结构\beta_3的结构β3的结构每一项都相当于一次关于已知的正交基的垂直转动。想像空间中三个起点连接的向量，在空间中随机分布，我们要用手把它们掰成相互垂直关系。
\quad使用相同的方式我们就能够得到n维空间中的正交向基了，单位化之后得到标准正交基。
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