格拉姆--施密特(Gram-Schmidt)正交化方法笔记

前段时间，身边的小伙伴问过我关于线性代数的一些知识，其中包含了特征向量的正交化的内容。遥想当初在学习线性代数的时候，只知道施密特正交化可以用来解决这个问题，但是老师猝不及防地甩过来一大段公式(可见下式)，完全没讲怎么来的，并且这破公式好难记，着实困扰了我很长一段时间，直到最近上了《高等工程数学》的一堂课才有点理解它的由来。

为了简单起见，我们先看看只有a1,a2两个线性无关向量的情况，根据上面的公式可以得出

那这是怎么来的呢？首先第一个等式是比较符合常理的，主要是第二个 $\beta _{2}$ 的值如何取；我们要明白 $\beta _{2}$ 一定是要与 $\beta _{1}$ 垂直的，即满足两两正交，因此我们可以画一个图更直观地感受一下

图中的底下的黑色线条(不是蓝色的)是 $\beta _{1}$ ( $\alpha _{1}$ )，而给定的 $\alpha _{2}$ 为斜向上黑色的线条，因为 $\alpha _{2}$ 不一定与 $\beta _{1}$ 垂直，所以我们需要构造 $\beta _{2}$ 使得 $\beta _{2}$ 与 $\beta _{1}$ 垂直。很直观地，我们可以从图中看到底下蓝色线条对应的向量与 $\beta _{1}$ 是共线同方向的，并且其长度为 $\alpha _{2}$ 在 $\beta _{1}$ 上的投影，即

这里的v就是对应蓝色的线条，根据向量之间的减法，图中的r1就等于 $\alpha _{2}-v$ ,这就与公式中的第二个等式一样，并且发现这个r1与 $\beta _{1}$ 垂直，就是我们所想要的 $\beta _{2}$ 。从这里我们可以看到所求的 $\beta _{2}$ 其实等于r1= $\alpha _{2}-p\beta _{1}$ ,当且仅当p等于 $\alpha _{2}$ 在 $\beta _{1}$ 上的投影长度。这样我们延伸到三维空间，我们可以得到

考虑到正交性，应满足

这样就得到了r2= $\beta _{3}$ ，以此类推，可以得到所有的 $\beta$ 。

这次的分享主要是为了大学期间的好伙伴备考而写的，希望对他能有所帮助。

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