定义

Q为方阵且：
QTQ=I,QT=Q−1Q^{T} Q=I, Q^{T}=Q^{-1} QTQ=I,QT=Q−1
则Q为正交矩阵。
组成Q的向量有：
qiTqj={0i≠j(ortho) 1i=j(normal )q_{i}^{T} q_{j}=\left\{\begin{array}{cc} 0 & i \neq j & \text { (ortho) } \\ 1 & i=j & (\text { normal }) \end{array}\right. qiTqj={01i=ji=j (ortho) ( normal )

求正交矩阵

Gram-Schmidt标准正交化过程是一种将一组向量转换成一组标准正交向量的方法。它基本上从标准化考虑的第一个向量开始，然后迭代地重写剩下的向量，用它们自己减去已经标准化的向量的乘积。例如，转换的列向量：
A=[121020231110]A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎡102122311010⎦⎥⎥⎤
变成标准正交列向量：
A=[6626230223−13630066−26−23]A=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{2}}{6} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & \frac{-1}{3} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{-\sqrt{2}}{6} & \frac{-2}{3} \end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎢⎡66036666232206−2323−103−2⎦⎥⎥⎥⎤
首先标准化第一个列向量：
From v1→=[1,0,2,1]:Get u1→=[16,0,26,16].\begin{array}{l} \text{From } \overrightarrow{v_{1}}=[1,0,2,1]: \\ \text{Get }\overrightarrow{u_{1}}=\left[\frac{1}{\sqrt{6}}, 0, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right] . \end{array} From v1=[1,0,2,1]:Get u1=[61,0,62,61].
之后算第二个列向量。
首先：
w2→=v2→−u1→⋅v2→∗u1→=[2,2,3,1]−[16,0,26,16]⋅[2,2,3,1]∗[16,0,26,16]=[2,2,3,1]−(96)∗[16,0,26,16]=[2,2,3,1]−[32,0,3,32]=[12,2,0,−12]\begin{array}{c} \overrightarrow{w_{2}}=\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}} * \overrightarrow{u_{1}}=[2,2,3,1]-\left[\frac{1}{\sqrt{6}}, 0, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right] \cdot[2,2,3,1] *\left[\frac{1}{\sqrt{6}}, 0, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right] \\ =[2,2,3,1]-\left(\frac{9}{\sqrt{6}}\right) *\left[\frac{1}{\sqrt{6}}, 0, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right] \\ =[2,2,3,1]-\left[\frac{3}{2}, 0,3, \frac{3}{2}\right] \\ =\left[\frac{1}{2}, 2,0, \frac{-1}{2}\right] \end{array} w2=v2−u1⋅v2∗u1=[2,2,3,1]−[61,0,62,61]⋅[2,2,3,1]∗[61,0,62,61]=[2,2,3,1]−(69)∗[61,0,62,61]=[2,2,3,1]−[23,0,3,23]=[21,2,0,2−1]
标准化它：
u2→=[26,223,0,−26]\overrightarrow{u_{2}}=\left[\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{2 \sqrt{2}}{3}, 0, \frac{-\sqrt{2}}{6}\right] u2=[62,322,0,6−2]
之后用u1和u2一起算u3:
w3→=v2→−u1→⋅v3→∗u1→−u2→⋅v3→∗u2→=[49,−29,0,−49]\overrightarrow{w_{3}}=\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{3}} * \overrightarrow{u_{1}}-\overrightarrow{u_{2}} \cdot \overrightarrow{v_{3}} * \overrightarrow{u_{2}}=\left[\frac{4}{9}, \frac{-2}{9}, 0, \frac{-4}{9}\right] w3=v2−u1⋅v3∗u1−u2⋅v3∗u2=[94,9−2,0,9−4]
标准化它：
u3→=[23,−13,0,−23]\overrightarrow{u_{3}}=\left[\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, 0, \frac{-2}{3}\right] u3=[32,3−1,0,3−2]
总得来说获得中级变量w的方法是：
wk→=vk→−∑i=1k−1ut→⋅vi→∗ut→\overrightarrow{w_{k}}=\overrightarrow{v_{k}}-\sum_{i=1}^{k-1} \overrightarrow{u_{t}} \cdot \overrightarrow{v_{i}} * \overrightarrow{u_{t}} wk=vk−i=1∑k−1ut⋅vi∗ut
之后进行标准化。
参考svd

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