排列组合、古典概型、几何概型与伯努利概型

排列组合

(1)排列组合公式
从mmm个人中挑出nnn个人进行排列的可能数：Pmn=m!(m−n)!P_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}Pmn=(m−n)!m!从mmm个人中挑出nnn个人进行组合的可能数：Cmn=m!n!(m−n)!C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}Cmn=n!(m−n)!m!

(2)加法原理(两种方法均能完成此事)：m+nm+nm+n

(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成此事)：m×nm \times nm×n

古典概型

定义：若随机试验满足如下条件：
(1)有限性：试验的样本空间Ω\OmegaΩ只有有限个样本点，即Ω={ω1,ω2,...,ωn}\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}Ω={ω1,ω2,...,ωn}(2)等可能性：试验中的样本点的发生是等可能的，即P({ω1})=P({ω2})=...=P({ωn})P(\{\omega_1\})=P(\{\omega_2\})=...=P(\{\omega_n\})P({ω1})=P({ω2})=...=P({ωn})则该随机试验为古典试验。

由定义可知，对于古典概型，有：1=P(Ω)=nP({ωi})1 = P(\Omega) = nP(\{\omega_i\})1=P(Ω)=nP({ωi})
古典概型的概率：
设古典概型的随机试验的样本空间Ω={ω1,ω2,...,ωn}\Omega = \{\omega_1, \omega_2,...,\omega_n\}Ω={ω1,ω2,...,ωn}，事件AAA中含有k(k≤n)k(k \leq n)k(k≤n)个样本点，则称kn\frac{k}{n}nk为AAA发生的概论，记为：P(A)=kn=A中含有的样本点数总样本点数P(A) = \frac{k}{n} = \frac{A中含有的样本点数}{总样本点数}P(A)=nk=总样本点数A中含有的样本点数这样的概率叫做古典概型。

几何概型

定义：若随机试验满足如下条件：
(1)可度量性：样本空间Ω\OmegaΩ是一个几何区域，这个区域的大小可以度量(如线段长度、平面面积、立体体积)，并把Ω\OmegaΩ的度量记为μ(Ω)\mu(\Omega)μ(Ω)
(2)等可能性：向区域Ω\OmegaΩ内任意投掷一个点，落在区域内任意等度量处都是等可能的。
则该随机试验为几何概型。

几何概型的概率：
若以AAA表示"在区域Ω\OmegaΩ中随机地取一点，而该点落在区域AAA中"这一事件，则事件AAA的概率计算公式为：P(A)=μ(A)μ(Ω)=A的几何度量区域整体的几何度量P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)} = \frac{A的几何度量}{区域整体的几何度量}P(A)=μ(Ω)μ(A)=区域整体的几何度量A的几何度量这样的概率叫做几何概型。

伯努利概型

定义：若随机试验满足如下条件：
(1)在随机试验中，只有两个基本事件AAA与A‾\overline AA
则该随机试验为伯努利试验。

伯努力概型的概率：
在一次试验中，的出现AAA概率为ppp，则出现A‾\overline AA的概率为1−p1-p1−p，记为：P(A)=pP(A)=pP(A)=pP(A‾)=1−pP(\overline A) = 1-pP(A)=1−p这样的概率叫做伯努利概型。

nnn重伯努利试验：
把伯努利试验独立重复(单独进行且概率不变)地进行nnn次，各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其他各次试验的结果，这样的试验称为nnn重伯努利试验。

n重伯努利试验的概率：
在nnn重伯努利试验中，若事件AAA在一次试验中发生的概率为ppp，设P(A)=p，P(A‾)=1−pP(A)=p，P(\overline A) = 1-pP(A)=p，P(A)=1−p，则在这nnn次试验中事件AAA恰好发生kkk次的概率为：Pn(k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=1,2,...,nP_n(k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},k=1,2,...,nPn(k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=1,2,...,n