关于基本勾股数规律的探讨总结与例题！

勾股数：

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
勾股数 —— 构成直角三角形的充分且必要条件。

1.

首先来观察：3 4 5；5 12 13；7 24 25；9 40 41；11 60 61; ... ；发现这些勾股数都是以奇数开头，从3起就没有间断过。

于是：若是大于1的奇数，由于奇数平方还是奇数，它平方后就可以拆成相邻的两个整数相加，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。此规律对于任意大于1的奇数都成立。

证明：

设此奇数： $a=2n+1,a^2=(2n+1)=4n^2+4n+1$ ，奇数=偶数+奇数

$%u90A3%u4E48%uFF0C%u7684$ 那么， $b=\frac{a^2}{2}=\frac{4n^2+4n+1}{2}=2n^2+2n, c=b+1=2n^2+2n+1$

则： $c^2=a^2+b^2=4n^2+4n+1+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n)^2+2(2n^2+2n)+1=[(2n^2+2n)+1]^2$

证毕。

2.

再来观察： 4 3 5；6 8 10；8 15 17；10 24 26；… ；发现这些都是以偶数开头。

于是：对于大于2的偶数，平方后除以4再减一或者加一即构成一组勾股数。也可以说：把这个偶数除以2再平方，然后这个平方数加一或者减一即得一组勾股数。

证明：

设此偶数： $a=2n$ ，则另外两条边: $b=n^2-1,c=n^2+1$

$a^2+b^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=c^2$

3.

任取两个正整数m、n(m＞n)，那么：

$a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2$ 构成一组勾股数。

证明：将上面代数式带入验证即可。

以上可得：任意大于2的整数都可以找出另外两个数构成勾股数。

此外，观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：

直角三角形短直角边为奇数（大于1），另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
如果短直角边为奇数，则直角三角形的周长等于短直角边的平方与其本身的和（由上述1可证明）。

下面来看一个典型例题：

Codeforces Round #368 (Div. 2)

题意很简单，由样例即可知：给出一个整数问是否能找出另外两个数使得构成一组勾股数。如不能则输出-1，反之，则输出任意符合的两个数。

很明显是上述1、2情况。

给出两种代码：

1.0 由自己摸索：

int main()
{long long a;while(~scanf("%I64d",&a)){if(a<3) printf("-1\n");//小于3不符合；else{if(a%2) printf("%I64d %I64d\n",a*a/2,a*a/2+1);奇数很容易推导出来；else{if((a/2)%2){a/=2;printf("%I64d %I64d\n",a*a/2*2,(a*a)/2*2+2);continue;}if(a%3==0){long long x=a/3;printf("%I64d %I64d\n",4*x,5*x);}else if(a%4==0){long long x=a/4;printf("%I64d %I64d\n",3*x,5*x);}else if(a%5==0){long long x=a/5;printf("%I64d %I64d\n",3*x,4*x);}else printf("-1\n");}}}return 0;
}

2.0 用勾股数定理：

int main()
{long long a;while(~scanf("%I64d",&a)){if(a<3){printf("-1\n");continue;}if(a%2) printf("%I64d %I64d\n",a*a/2,a*a/2+1);else{a/=2;long long b=a*a-1;long long c=b+2;printf("%I64d %I64d\n",b,c);}}return 0;
}//明显简短许多。