第三章：张量分析与黎曼几何

11、黎曼空间中的积分

积分实质上就是求和，但在张量运算中，不同点的求和一般是没有意义的，不能保证张量的变换性质。所以在黎曼空间中，只有类似下述的积分才有意义：
∫fμdxμ=f∬Tμνdxμdxν=T∫∭J;μμdΣ=J\int f_\mu dx^\mu = f\\ \iint T_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = T\\ \int\iiint J^\mu_{;\mu}d\Sigma = J ∫fμdxμ=f∬Tμνdxμdxν=T∫∭J;μμdΣ=J
不同点的标量直接积分，得到的结果仍然是标量，因此具有协变性

Gauss定理

∮fμdVμ=∫∭fμ;μdΣ\oint f^\mu dV_\mu=\int\iiint {f^\mu}_{;\mu}d\Sigma ∮fμdVμ=∫∭fμ;μdΣ

其中，dΣ=−gdx0dx1dx2dx3≡−gd4xd\Sigma=\sqrt{-g}dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 \equiv \sqrt{-g}d^4 xdΣ=−gdx0dx1dx2dx3≡−gd4x，为四维体积元，dVμ≡−gdvνλρ⋅δμνλρ=−gdxνdxλdxρ⋅δμνλρdV_\mu\equiv \sqrt{-g}dv^{\nu\lambda\rho}\cdot\delta_{\mu\nu\lambda\rho}=\sqrt{-g}dx^\nu dx^\lambda dx^\rho \cdot \delta_{\mu\nu\lambda\rho}dVμ≡−gdvνλρ⋅δμνλρ=−gdxνdxλdxρ⋅δμνλρ，为三维超曲面体积元
fμ;μ=1−g(−gfμ),μ{f^\mu}_{;\mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\left(\sqrt{-g}f^\mu\right)_{,\mu} fμ;μ=−g1(−gfμ),μ
得到：
∫∭fμ;μdΣ=∫∭∂∂xμ(−gfμ)dx0dx1dx2dx3=左边\int\iiint {f^\mu}_{;\mu}d\Sigma =\int\iiint \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left(\sqrt{-g}f^\mu\right)dx^0 dx^1 dx^2 dx^3=左边 ∫∭fμ;μdΣ=∫∭∂xμ∂(−gfμ)dx0dx1dx2dx3=左边
(μ=0,1,2,3\mu=0,1,2,3μ=0,1,2,3)

Stokes定理

∮fμdxμ=∬curlμν{f}dσμν∮Fμνdσμν=∭curlμντ{F}dvμντ\oint f_\mu dx^\mu = \iint curl_{\mu\nu}\{f\}d\sigma^{\mu\nu}\\ \oint F_{\mu\nu}d\sigma^{\mu\nu}=\iiint curl_{\mu\nu\tau}\{F\}dv^{\mu\nu\tau} ∮fμdxμ=∬curlμν{f}dσμν∮Fμνdσμν=∭curlμντ{F}dvμντ

其中，fμf^\mufμ，FμνF^{\mu\nu}Fμν分别是矢量场和二阶反对称张量场。dσμν≡dxμδxν−dxνδxμd\sigma^{\mu\nu}\equiv dx^\mu \delta x^\nu-dx^\nu\delta x^\mudσμν≡dxμδxν−dxνδxμ为二维曲面面元

12、Bianchi恒等式

由黎曼张量的定义可以推导出：
Rρλμν;σ+Rρλνσ;μ+Rρλσμ;ν=0R_{\rho\lambda\mu\nu;\sigma}+R_{\rho\lambda\nu\sigma;\mu}+R_{\rho\lambda\sigma\mu;\nu}=0 Rρλμν;σ+Rρλνσ;μ+Rρλσμ;ν=0
此即Bianchi恒等式

证明：Bianchi恒等式
Rρλμν=gρδRλμνδ=gρδ(−Γλμ,νδ+Γλν,μδ−ΓλμσΓσνδ+ΓλνσΓσμδ)R_{\rho\lambda\mu\nu}=g_{\rho\delta}R^\delta_{\lambda\mu\nu}=g_{\rho\delta}(-\Gamma^\delta_{\lambda\mu,\nu}+\Gamma^\delta_{\lambda\nu,\mu}-\Gamma^\sigma_{\lambda\mu}\Gamma^\delta_{\sigma\nu}+\Gamma^\sigma_{\lambda\nu}\Gamma^\delta_{\sigma\mu}) Rρλμν=gρδRλμνδ=gρδ(−Γλμ,νδ+Γλν,μδ−ΓλμσΓσνδ+ΓλνσΓσμδ)
张量方程：只需要选择一个特殊坐标系（Γσλμ\Gamma^\mu_{\sigma\lambda}Γσλμ），该张量方程成立

第3/4项为零，第一二项和为gμνg_{\mu\nu}gμν，将下式代入：
Γλμα=12gαν(gμν,λ+gνλ,μ−gλμ,ν)\Gamma^\alpha_{\lambda\mu}=\frac{1}{2}g^{\alpha\nu}(g_{\mu\nu,\lambda}+g_{\nu\lambda,\mu}-g_{\lambda\mu,\nu}) Γλμα=21gαν(gμν,λ+gνλ,μ−gλμ,ν)
得到：
Rρλμν;σ=12(gρν,μ,λ−gνλ,μ,ρ−gρμ,ν,λ+gμλ,ν,ρ),σR_{\rho\lambda\mu\nu;\sigma}=\frac{1}{2}(g_{\rho\nu,\mu,\lambda}-g_{\nu\lambda,\mu,\rho}-g_{\rho\mu,\nu,\lambda}+g_{\mu\lambda,\nu,\rho})_{,\sigma} Rρλμν;σ=21(gρν,μ,λ−gνλ,μ,ρ−gρμ,ν,λ+gμλ,ν,ρ),σ
所以：
Rρλμν;σ+Rρλνσ;μ+Rρλσμ;ν=12[gρν,μ,λ,σ−gνλ,μ,ρ,σ−gρμ,ν,λ,σ+gμλ,ν,ρ,σ+gρσ,ν,λ,μ−gσλ,ν,ρ,μ−gρν,σ,λ,μ+gνλ,σ,ρ,μ+gρμ,σ,λ,ν−gμλ,σ,ρ,ν−gρσ,μ,λ,ν+gσλ,μ,ρ,ν]=0\begin{aligned} &R_{\rho\lambda\mu\nu;\sigma}+R_{\rho\lambda\nu\sigma;\mu}+R_{\rho\lambda\sigma\mu;\nu}\\ &=\frac{1}{2}\left[g_{\rho\nu,\mu,\lambda,\sigma}-g_{\nu\lambda,\mu,\rho,\sigma}-g_{\rho\mu,\nu,\lambda,\sigma}+g_{\mu\lambda,\nu,\rho,\sigma} \right.\\ &+g_{\rho\sigma,\nu,\lambda,\mu}-g_{\sigma\lambda,\nu,\rho,\mu}-g_{\rho\nu,\sigma,\lambda,\mu}+g_{\nu\lambda,\sigma,\rho,\mu}\\ &\left.+g_{\rho\mu,\sigma,\lambda,\nu}-g_{\mu\lambda,\sigma,\rho,\nu}-g_{\rho\sigma,\mu,\lambda,\nu}+g_{\sigma\lambda,\mu,\rho,\nu}\right]\\ &=0 \end{aligned} Rρλμν;σ+Rρλνσ;μ+Rρλσμ;ν=21[gρν,μ,λ,σ−gνλ,μ,ρ,σ−gρμ,ν,λ,σ+gμλ,ν,ρ,σ+gρσ,ν,λ,μ−gσλ,ν,ρ,μ−gρν,σ,λ,μ+gνλ,σ,ρ,μ+gρμ,σ,λ,ν−gμλ,σ,ρ,ν−gρσ,μ,λ,ν+gσλ,μ,ρ,ν]=0
证毕.

Bianchi恒等式的应用

Rσλμν;σ+Rσλνσ;μ+Rσλσμ;ν=0Rσλμν;σ+Rλν;μ−Rλμ;ν=0(Rσλμν;σ+Rλν;μ−Rλμ;ν)×gλμ=0Rσμμν;σ+Rμν;μ−R;ν=0Rμν;μ−12R;ν=0\begin{aligned} {R^\sigma}_{\lambda\mu\nu;\sigma}+{R^\sigma}_{\lambda\nu\sigma;\mu}+{R^\sigma}_{\lambda\sigma\mu;\nu}&=0\\ {R^\sigma}_{\lambda\mu\nu;\sigma}+{R}_{\lambda\nu;\mu}-{R}_{\lambda\mu;\nu}&=0\\ ({R^\sigma}_{\lambda\mu\nu;\sigma}+{R}_{\lambda\nu;\mu}-{R}_{\lambda\mu;\nu})\times g^{\lambda\mu}&=0\\ {R^{\sigma\mu}}_{\mu\nu;\sigma}+{R^\mu}_{\nu;\mu}-R_{;\nu} &= 0\\ {R^\mu}_{\nu;\mu}-\frac{1}{2}R_{;\nu}&=0 \end{aligned} Rσλμν;σ+Rσλνσ;μ+Rσλσμ;νRσλμν;σ+Rλν;μ−Rλμ;ν(Rσλμν;σ+Rλν;μ−Rλμ;ν)×gλμRσμμν;σ+Rμν;μ−R;νRμν;μ−21R;ν=0=0=0=0=0

Gμν=Rμν−12gμνR→Gμν=Rμν−12δμνRG_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\rightarrow {G^\mu}_\nu ={R^\mu}_{\nu}-\frac{1}{2}{\delta^\mu}_\nu R Gμν=Rμν−21gμνR→Gμν=Rμν−21δμνR

得到：
Gμν;μ=0{G^\mu}_{\nu;\mu}=0 Gμν;μ=0

13、李微商与killing矢量

李微商

坐标变换xμ→x~μx^\mu\rightarrow \tilde x^\muxμ→x~μ，考虑一个无穷小的映射：
x~μ=xμ+ϵξμ\tilde x^\mu=x^\mu +\epsilon \xi^\mu x~μ=xμ+ϵξμ
其中，ϵ\epsilonϵ是无穷小参量，ξμ\xi^\muξμ是任意给定的矢量场，称为映射的“生成元”。可以把上述坐标变换理解为同一坐标系下，不同点之间的对应关系

Lie微分关系与无穷小映射关系：

xμx^\muxμ与x~μ\tilde x^\mux~μ具相邻两点，其坐标差为x~μ=xμ+ϵξμ\tilde x^\mu= x^\mu+\epsilon \xi^\mux~μ=xμ+ϵξμ。对于任意张量T⋯⋯(x)T^\cdots_\cdots (x)T⋯⋯(x)（简记为T(x)T(x)T(x)），PPP与QQQ是相邻两点，通过上述映射关系来联系：(P→ξμQ)(P\mathop\rightarrow\limits_{\xi_\mu} Q)(Pξμ→Q)，来研究T(P)T(P)T(P)与T(Q)T(Q)T(Q)的关系

问题：T(P)T(P)T(P)与T(Q)T(Q)T(Q)如何比较？

回顾：协变微分→\rightarrow→引入矢量平移→\rightarrow→联络

现在：引入“映射下的张量移动”→T(P)→\rightarrow T(P)\rightarrow→T(P)→映射到QQQ点，记为T(P⇒Q)T(P\Rightarrow Q)T(P⇒Q)，要求T(P⇒Q)T(P\Rightarrow Q)T(P⇒Q)是QQQ点的张量

Lie微商：
LξT(x)≡lim⁡ϵ→0T(Q)−T(P⇒Q)ϵ\mathcal L_\xi T(x) \equiv \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{T(Q)-T(P\Rightarrow Q)}{\epsilon} LξT(x)≡ϵ→0limϵT(Q)−T(P⇒Q)

注意到(p,q)(p,q)(p,q)阶张量的李微商仍然是(p,q)(p,q)(p,q)阶张量，因此，只要定义了T(P⇒Q)T(P\Rightarrow Q)T(P⇒Q)，就可以确定Lie微商的定义了

平移后张量的定义

（1）对于标量场，定义：φ(P⇒Q)≡φ(P)\varphi(P\Rightarrow Q)\equiv \varphi(P)φ(P⇒Q)≡φ(P)，因此：
Lξφ(x)=lim⁡ϵ→0φ(Q)−φ(P)ϵ=lim⁡ϵ→0φ,μdxμϵ=lim⁡ϵ→0φ,μϵξμϵ=φ,μξμ\mathcal L_\xi \varphi(x)=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{\varphi(Q)-\varphi(P)}{\epsilon}=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{\varphi_{,\mu}dx^\mu}{\epsilon}=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{\varphi_{,\mu}\epsilon\xi^\mu}{\epsilon}=\varphi_{,\mu}\xi^\mu Lξφ(x)=ϵ→0limϵφ(Q)−φ(P)=ϵ→0limϵφ,μdxμ=ϵ→0limϵφ,μϵξμ=φ,μξμ
（2）对于逆变矢量kμ(x)k^\mu(x)kμ(x)，如何定义kμ(P⇒Q)k^\mu(P\Rightarrow Q)kμ(P⇒Q)？

让kμ(x)k^\mu(x)kμ(x)作为切矢量：

所以：
kμ(P)kμ(P⇒Q)=dxμdxμ+ϵξμ,νdxν⇒kμ(P⇒Q)=kμ(P)+ϵξμ,ν(P)kν(P)\frac{k^\mu(P)}{k^\mu(P\Rightarrow Q)}=\frac{dx^\mu}{dx^\mu+\epsilon{\xi^\mu}_{,\nu}dx^\nu}\Rightarrow k^\mu(P\Rightarrow Q)=k^\mu(P)+\epsilon{\xi^\mu}_{,\nu}(P)k^\nu(P) kμ(P⇒Q)kμ(P)=dxμ+ϵξμ,νdxνdxμ⇒kμ(P⇒Q)=kμ(P)+ϵξμ,ν(P)kν(P)

Lξkμ(x)=lim⁡ϵ→0kμ(Q)−kμ(P⇒Q)ϵ=lim⁡ϵ→0kμ(Q)−kμ(P)ϵ−ξμ,νkν=kμ,νξν−ξμ,νkνkμ(Q)=kμ(P)+kμ,νdxν=kμ(P)+kμ,νϵξν\begin{aligned} &\mathcal L_\xi k^\mu(x)=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{k^\mu(Q)-k^\mu(P\Rightarrow Q)}{\epsilon}=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{k^\mu(Q)-k^\mu(P)}{\epsilon}-{\xi^\mu}_{,\nu}k^\nu={k^\mu}_{,\nu}\xi^\nu-{\xi^\mu}_{,\nu}k^\nu\\ &k^\mu(Q)=k^\mu(P)+{k^\mu}_{,\nu}dx^\nu=k^\mu(P)+{k^\mu}_{,\nu}\epsilon\xi^\nu \end{aligned} Lξkμ(x)=ϵ→0limϵkμ(Q)−kμ(P⇒Q)=ϵ→0limϵkμ(Q)−kμ(P)−ξμ,νkν=kμ,νξν−ξμ,νkνkμ(Q)=kμ(P)+kμ,νdxν=kμ(P)+kμ,νϵξν

此即逆变矢量的移动法则。由此得到：
Lξkμ=k,νμξν−ξ,νμkν\mathcal L_\xi k^\mu=k^\mu_{,\nu}\xi^\nu-\xi^\mu_{,\nu}k^\nu Lξkμ=k,νμξν−ξ,νμkν
（3）定义分配率：
Lξ(TS)=(LξT)S+T(LξS)\mathcal L_\xi(TS)=(\mathcal L_\xi T)S+T(\mathcal L_\xi S) Lξ(TS)=(LξT)S+T(LξS)

由此，便完成了张量平移的定义

对各种矢量和张量的Lie微分运算：
Lξpμ=pμ,σξσ+ξ,μσpσLξTμν=Tμν,ρξρ+Tρνξ,μρ+Tμρξ,νρLξTνμ=Tν,ρμξρ−Tνρξ,ρμ+Tρμξ,νρLξTμν=T,ρμνξρ−Tρνξ,ρμ−Tμρξ,ρν\begin{aligned} \mathcal L_\xi p_\mu&=p_{\mu,\sigma}\xi^\sigma+\xi^\sigma_{,\mu}p_\sigma\\ \mathcal L_\xi T_{\mu\nu} &= T_{\mu\nu,\rho}\xi^\rho+T_{\rho\nu}\xi^\rho_{,\mu}+T_{\mu\rho}\xi^\rho_{,\nu}\\ \mathcal L_\xi T^\mu_\nu &= T^\mu_{\nu,\rho}\xi^\rho-T^\rho_\nu \xi^\mu_{,\rho}+T^\mu_\rho \xi^\rho_{,\nu}\\ \mathcal L_\xi T^{\mu\nu} &= T^{\mu\nu}_{,\rho}\xi^\rho-T^{\rho\nu}\xi^\mu_{,\rho}-T^{\mu\rho}\xi^\nu_{,\rho} \end{aligned} LξpμLξTμνLξTνμLξTμν=pμ,σξσ+ξ,μσpσ=Tμν,ρξρ+Tρνξ,μρ+Tμρξ,νρ=Tν,ρμξρ−Tνρξ,ρμ+Tρμξ,νρ=T,ρμνξρ−Tρνξ,ρμ−Tμρξ,ρν
说明：

（1）Lie微商不仅取决于张量场，而且取决于生成元

（2）Lie微商不需要先有联络，但如果先有了联络，则可以证明上式中的普通微商都可以写为协变微商：
Lξkμ=k;νμξν−ξ;νμkνLξTμν=Tμν;ρξρ+Tρνξ;μρ+Tμρξ;νρ\mathcal L_\xi k^\mu = k^\mu_{;\nu}\xi^\nu - \xi^\mu_{;\nu}k^\nu\\ \mathcal L_\xi T_{\mu\nu} = T_{\mu\nu;\rho}\xi^\rho+T_{\rho\nu}\xi^\rho_{;\mu}+T_{\mu\rho}\xi^\rho_{;\nu} Lξkμ=k;νμξν−ξ;νμkνLξTμν=Tμν;ρξρ+Tρνξ;μρ+Tμρξ;νρ
（3）度规张量的Lie微商：
Lξgμν=gμν;ρξρ+gρνξ;μρ+gμρξ;νρ=ξν;μ+ξμ;ν\mathcal L_\xi g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu;\rho}\xi^\rho+g_{\rho\nu}\xi^\rho_{;\mu}+g_{\mu\rho}\xi^\rho_{;\nu}=\xi_{\nu;\mu}+\xi_{\mu;\nu} Lξgμν=gμν;ρξρ+gρνξ;μρ+gμρξ;νρ=ξν;μ+ξμ;ν

Killing矢量

等度规映射

PPP和P′P'P′是相邻两点，坐标差为dxμdx^\mudxμ，距离为：
dsPP′2=gμν(P)dxμdxνds^2_{PP'}=g_{\mu\nu}(P)dx^\mu dx^\nu dsPP′2=gμν(P)dxμdxν
通过无穷小映射将(P⇒Q,P′⇒Q′)(P\Rightarrow Q,\ P'\Rightarrow Q')(P⇒Q, P′⇒Q′)，QQQ与Q′Q'Q′的坐标差为δxμ\delta x^\muδxμ，则其距离为：
dsQQ′2=gμν(Q)δxμδxνds^2_{QQ'}=g_{\mu\nu}(Q)\delta x^\mu \delta x^\nu dsQQ′2=gμν(Q)δxμδxν
定义：任意的PP′PP'PP′，映射之后满足dsPP′2=dsQQ′2ds^2_{PP'}=ds^2_{QQ'}dsPP′2=dsQQ′2，此即等度规映射

Killing矢量：等度规映射的生成元

Killing方程：Killing矢量所满足的方程

Killing方程

推导：
dsPP′2=dsQQ′2=gμν(Q)δxμδxνds^2_{PP'}=ds^2_{QQ'}=g_{\mu\nu}(Q)\delta x^\mu\delta x^\nu dsPP′2=dsQQ′2=gμν(Q)δxμδxν
其中，dsPP′2=gμν(P)dxμdxνds^2_{PP'}=g_{\mu\nu}(P)dx^\mu dx^\nudsPP′2=gμν(P)dxμdxν，gμν(Q)=gμν(P)+gμν,λ(P)ϵξλg_{\mu\nu}(Q)=g_{\mu\nu}(P)+g_{\mu\nu,\lambda}(P)\epsilon\xi^\lambdagμν(Q)=gμν(P)+gμν,λ(P)ϵξλ，δxμ=dxμ+ϵξμ,λdxλ\delta x^\mu=dx^\mu+\epsilon{\xi^\mu}_{,\lambda}dx^\lambdaδxμ=dxμ+ϵξμ,λdxλ，代入后保留一阶小量，得到：
gμν,λξλdxμdxν+gμνξμ,λdxλdxν+gμνξν,λdxλdxμ=0g_{\mu\nu,\lambda}\xi^\lambda dx^\mu dx^\nu+g_{\mu\nu}{\xi^\mu}_{,\lambda}dx^\lambda dx^\nu+g_{\mu\nu}{\xi^\nu}_{,\lambda}dx^\lambda dx^\mu=0 gμν,λξλdxμdxν+gμνξμ,λdxλdxν+gμνξν,λdxλdxμ=0
第二项λ\lambdaλ与μ\muμ对换，第三项λ\lambdaλ与ν\nuν对换，即可得到Killing方程：
gμν,λξλ+gλνξ,μλ+gμλξ,νλ=0g_{\mu\nu,\lambda}\xi^\lambda+g_{\lambda\nu}\xi^\lambda_{,\mu}+g_{\mu\lambda}\xi^\lambda_{,\nu}=0 gμν,λξλ+gλνξ,μλ+gμλξ,νλ=0
QED.

两个任务：$g_{\mu\nu}\mathop\rightarrow\limits_{1} \xi_\mu\mathop\rightarrow\limits_{2} $找守恒量

任务2：任一Killing矢量ξμ\xi^\muξμ，一定对应一个路径积分UμξμU^\mu\xi_\muUμξμ，它沿测地线是守恒量

证明：其中Uμ≡dxμdτU^\mu\equiv \dfrac{dx^\mu}{d\tau}Uμ≡dτdxμ
DDτ(Uμξμ)=dxλdτ(Uμξμ);λ=Uλ(Uμ;λξμ)+UλUμξμ;λ=0（第一项对称，第二项反对称）\frac{D}{D\tau}(U^\mu\xi_\mu)=\frac{dx^\lambda}{d\tau}(U^\mu\xi_\mu)_{;\lambda}=U^\lambda({U^\mu}_{;\lambda}\xi_\mu)+U^\lambda U^\mu\xi_{\mu;\lambda}=0（第一项对称，第二项反对称） DτD(Uμξμ)=dτdxλ(Uμξμ);λ=Uλ(Uμ;λξμ)+UλUμξμ;λ=0（第一项对称，第二项反对称）

Killing矢量与最大对称空间

出发点：Killing方程
ξμ;ν+ξν,μ=0\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu,\mu}=0 ξμ;ν+ξν,μ=0

ξσ;ρ;μ−ξσ;μ;ρ=Rλσρμξλ(1)\xi_{\sigma;\rho;\mu}-\xi_{\sigma;\mu;\rho}={R^\lambda}_{\sigma\rho\mu}\xi_\lambda \tag{1} ξσ;ρ;μ−ξσ;μ;ρ=Rλσρμξλ(1)

把上式的三个指标σρμ\sigma\rho\muσρμ做轮换（结合Rλσρμ+Rλμσρ+Rλρμσ=0{R^\lambda}_{\sigma\rho\mu}+{R^\lambda}_{\mu\sigma\rho}+{R^\lambda}_{\rho\mu\sigma}=0Rλσρμ+Rλμσρ+Rλρμσ=0）：
ξσ;ρ;μ−ξσ;μ;ρ+ξμ;σ;ρ−ξμ;ρ;σ+ξρ;μ;σ−ξρ;σ;μ=0\xi_{\sigma;\rho;\mu}-\xi_{\sigma;\mu;\rho}+\xi_{\mu;\sigma;\rho}-\xi_{\mu;\rho;\sigma}+\xi_{\rho;\mu;\sigma}-\xi_{\rho;\sigma;\mu}=0 ξσ;ρ;μ−ξσ;μ;ρ+ξμ;σ;ρ−ξμ;ρ;σ+ξρ;μ;σ−ξρ;σ;μ=0
得到：
ξσ;ρ;μ−ξσ;μ;ρ−ξμ;ρ;σ=0\xi_{\sigma;\rho;\mu}-\xi_{\sigma;\mu;\rho}-\xi_{\mu;\rho;\sigma}=0 ξσ;ρ;μ−ξσ;μ;ρ−ξμ;ρ;σ=0
方程（1）变为：
ξμ;ρ;σ=Rλσρμξλ\xi_{\mu;\rho;\sigma}={R^\lambda}_{\sigma\rho\mu}\xi_\lambda ξμ;ρ;σ=Rλσρμξλ
因此，ξλ\xi_\lambdaξλ的二阶协变微分可以由零阶来得到，三阶协变微分可以由一阶来得到。ξλ\xi_\lambdaξλ的任意阶协变系数可以由零阶和一阶来构造
ξσ(x)→Taylor展开Aρλ(x;X)ξλ+Bρλν(x;X)ξλ;ν(X)+⋯\xi_\sigma(x)\mathop\rightarrow\limits^{Taylor展开}A^\lambda_\rho(x;X)\xi_\lambda+B^{\lambda\nu}_{\rho}(x;X)\xi_{\lambda;\nu}(X)+\cdots ξσ(x)→Taylor展开Aρλ(x;X)ξλ+Bρλν(x;X)ξλ;ν(X)+⋯
由此，ξσ(x)\xi_\sigma(x)ξσ(x)由NNN个ξσ(X)\xi_\sigma(X)ξσ(X)和CN2C^2_NCN2个ξσ;μ(X)\xi_{\sigma;\mu}(X)ξσ;μ(X)来构造

所以，自由度为N+CN2=N(N+1)2N+C^2_N=\dfrac{N(N+1)}{2}N+CN2=2N(N+1)

如果一个nnn维空间中有n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)个Killing矢量，则称为最大对称空间

如何寻找Killing矢量

（1）如果度规gμν(xμ)g_{\mu\nu}(x^\mu)gμν(xμ)中不含某个坐标xαx^\alphaxα，则nαn^\alphanα必为Killing矢量

举例：假设gμν(x)g_{\mu\nu}(x)gμν(x)中不含ttt，Killing矢量n0=(1,0,0,0)n^0=(1,0,0,0)n0=(1,0,0,0)，n0U0n^0 U^0n0U0是守恒量
gμν,λξλ+gλνξλ,μ+gμλξλ,ν=0g_{\mu\nu,\lambda}\xi^\lambda+g_{\lambda\nu}{\xi^\lambda}_{,\mu}+g_{\mu\lambda}{\xi^\lambda}_{,\nu}=0 gμν,λξλ+gλνξλ,μ+gμλξλ,ν=0
（2）如果存在某一Killing矢量，则一定可以通过坐标变换，使得度规中不显含xαx^\alphaxα

举例：对于史瓦西解：
dτ2=(1−2GMr)dt2−(1−2GMr)−1dr2−r2dθ2−r2sin⁡2θdφ2d\tau^2=\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2-r^2 d\theta^2-r^2\sin^2\theta d\varphi^2 dτ2=(1−r2GM)dt2−(1−r2GM)−1dr2−r2dθ2−r2sin2θdφ2
gμνg_{\mu\nu}gμν不含ttt，找到Killing矢量n0=(1,0,0,0)n^0=(1,0,0,0)n0=(1,0,0,0)，n0U0=g00n0U0=−(1−2GMr)dtdτ=constn_0 U^0=g_{00}n^0U^0=-\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)\dfrac{dt}{d\tau}=constn0U0=g00n0U0=−(1−r2GM)dτdt=const：能量守恒

gμνg_{\mu\nu}gμν不含φ\varphiφ，找到Killing矢量n3=(0,0,0,1)n^3=(0,0,0,1)n3=(0,0,0,1)，n3U3=g33n3U3=r2sin⁡2θdφdτ=constn_3 U^3=g_{33}n^3 U^3=r^2\sin^2\theta\dfrac{d\varphi}{d\tau}=constn3U3=g33n3U3=r2sin2θdτdφ=const：角动量守恒

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##飞特STS3215舵机测试与使用记录--附带基础样例-记录笔记-第三章前言说明协议与后期验证细节以及遇到问题 (1)舵机可以摆动问题 (2)舵机是否能到达指定位置 (3)舵机在外力会出现移动 ...
【数据库学习笔记】第三章关系数据库标准语言
SQL语言是关系数据库的标准语言.它的内容十分丰富,是学习关系数据库概念和技术的重要组成部分. 3.1 基本知识点关系模型和关系数据库是<概论>的重点,第三章又是重点中的重点,因为关 ...
计算机安全原理与实践_《计算机图形学原理及实践》学习笔记之第三章
第三章一个古老的绘制器 1525年,阿尔布雷·丢勒制作了一幅木刻画,展示了一种可以绘制任一形体透视图的方法. 本章我们将开发一个软件来模拟丢勒展示的方法. 丢勒视角绘制算法的伪代码 Input: ...
【深入理解Java虚拟机学习笔记】第三章垃圾收集器与内存分配策略
最近想好好复习一下java虚拟机,我想通过深读 [理解Java虚拟机 jvm 高级特性与最佳实践] (作者周志明) 并且通过写一些博客总结来将该书读薄读透,这里文章内容仅仅是个人阅读后简短总结,加强 ...
信息安全工程师学习笔记《第三章》
第三章密码学基本理论本章讲述了密码学的基本概念以及常见的密码体制.密码算法,分析了杂凑函数.数字签名.国产密码算法.安全协议等的工作原理:本章还分析了密码在网络安全方面的应用场景类型. 3.1密码 ...
计算机文件的含义记录在,第三章计算机基本操作.doc
第三章计算机基本操作一.单项选择题 1.计算机感染病毒后会产生各种现象,以下不属于病毒现象的是(www.TopS) A.文件占用的空间变大 B.发生异常蜂鸣声 C.屏幕显示异常图形 D.机内的电扇不 ...
《计算机图形学原理及实践》学习笔记之第三章
第三章一个古老的绘制器 1525年,阿尔布雷·丢勒制作了一幅木刻画,展示了一种可以绘制任一形体透视图的方法. 本章我们将开发一个软件来模拟丢勒展示的方法. 丢勒视角绘制算法的伪代码 Input: ...

广义相对论-学习记录7-第三章-张量分析与黎曼几何4