矩阵对角化

1.矩阵对角化（Diagonalizing a Matrix）
- 1.1 对角矩阵的优点
- 1.2 求解一般矩阵的特征值和特征向量
- 1.3 矩阵对角化
- 1.4 计算 <span class="katex--inline">A^k</span>
- 1.5 矩阵对角化的注意事项

1.矩阵对角化（Diagonalizing a Matrix）

笔记参考来源：Visualizing Diagonalization & Eigenbases

1.1 对角矩阵的优点

对角矩阵优点1：

我们观察到对角矩阵只是对标准基进行了缩放，而没有进行旋转（这里的性质和特征向量有些类似！！！）这大大提高了线性变换的确定性（尤其对于高维空间中的线性变换），同时也大大简化了计算量

对角矩阵优点2：

特别容易求出对角矩阵的逆矩阵

1.2 求解一般矩阵的特征值和特征向量

我们将一般矩阵化为对角矩阵

我们观察到一般矩阵相较于对角矩阵，其线性变换较为复杂

我们求出上述矩阵的特征向量和特征值

求解矩阵的特征向量、特征值
方法一：
A=[5/43/43/45/4]Ax⃗=λx⃗(A−λI)x⃗=0⃗A−λI=[5/4−λ3/43/45/4−λ]det(A−λI)=0det(A−λI)=(54−λ)2−(34)2=0λ1=12、λ2=2Ax⃗1=12x⃗1、Ax⃗2=2x⃗2[5/43/43/45/4][a1a2]=12[a1a2]、[5/43/43/45/4][a3a4]=2[a3a4]a1=−a2、a3=a4Wetakea1=−1、a2=1、a3=1、a4=1x⃗1=[11]、x⃗2=[−11]A=\begin{bmatrix}5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4\end{bmatrix}\\ ~\\ A\vec{x}=\lambda \vec{x}\\ ~\\ (A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}\\ ~\\ A-\lambda I=\begin{bmatrix}5/4-\lambda & 3/4\\ 3/4 & 5/4-\lambda\end{bmatrix}\\ ~\\ det(A-\lambda I)=0\\ ~\\ det(A-\lambda I)=(\frac{5}{4}-\lambda)^2-(\frac{3}{4})^2=0\\ ~\\ \lambda_1=\frac{1}{2}、\lambda_2=2\\ ~\\ A\vec{x}_1=\frac{1}{2}\vec{x}_1、A\vec{x}_2=2\vec{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}、 \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=-a_2、a_3=a_4\\ ~\\ We\ take\ a_1=-1、a_2=1、a_3=1、a_4=1\\ ~\\ \vec{x}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}、 \vec{x}_2= \begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} A=[5/43/43/45/4] Ax=λx (A−λI)x=0 A−λI=[5/4−λ3/43/45/4−λ] det(A−λI)=0 det(A−λI)=(45−λ)2−(43)2=0 λ1=21、λ2=2 Ax1=21x1、Ax2=2x2 [5/43/43/45/4][a1a2]=21[a1a2]、[5/43/43/45/4][a3a4]=2[a3a4] a1=−a2、a3=a4 We take a1=−1、a2=1、a3=1、a4=1 x1=[11]、x2=[−11]
方法二：
A=[5/43/43/45/4]detA=(54)2−(34)2=1=λ1λ2trA=54+34=52=λ1+λ2{λ1λ2=1λ1+λ2=52λ1=12、λ2=2Ax⃗1=12x⃗1、Ax⃗2=2x⃗2[5/43/43/45/4][a1a2]=12[a1a2]、[5/43/43/45/4][a3a4]=2[a3a4]a1=−a2、a3=a4Wetakea1=−1、a2=1、a3=1、a4=1x⃗1=[11]、x⃗2=[−11]A=\begin{bmatrix}5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4\end{bmatrix}\\ ~\\ det\ A=(\frac{5}{4})^2-(\frac{3}{4})^2=1=\lambda_1\lambda_2\\ ~\\ tr\ A=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{2}=\lambda_1+\lambda_2\\ ~\\ \begin{cases} \lambda_1\lambda_2=1\\ \lambda_1+\lambda_2=\frac{5}{2} \end{cases}\\ ~\\ \lambda_1=\frac{1}{2}、\lambda_2=2\\ ~\\ A\vec{x}_1=\frac{1}{2}\vec{x}_1、A\vec{x}_2=2\vec{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}、 \begin{bmatrix} 5/4 & 3/4\\ 3/4 & 5/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} a_3\\ a_4 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=-a_2、a_3=a_4\\ ~\\ We\ take\ a_1=-1、a_2=1、a_3=1、a_4=1\\ ~\\ \vec{x}_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}、 \vec{x}_2= \begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix} A=[5/43/43/45/4] det A=(45)2−(43)2=1=λ1λ2 tr A=45+43=25=λ1+λ2 {λ1λ2=1λ1+λ2=25 λ1=21、λ2=2 Ax1=21x1、Ax2=2x2 [5/43/43/45/4][a1a2]=21[a1a2]、[5/43/43/45/4][a3a4]=2[a3a4] a1=−a2、a3=a4 We take a1=−1、a2=1、a3=1、a4=1 x1=[11]、x2=[−11]

1.3 矩阵对角化

特征向量矩阵 XXX
X=[x⃗1x⃗2]=[1−111]X=[\vec{x}_1\quad\vec{x}_2]= \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} X=[x1x2]=[11−11]

特征值矩阵 Λ\LambdaΛ
Λ=[λ100λ2]=[2001/2]\Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} Λ=[λ100λ2]=[2001/2]
特征向量矩阵的逆矩阵 X−1X^{-1}X−1

X−1=1detX[11−11]=12[11−11]=[1/21/2−1/21/2]X^{-1}=\frac{1}{det\ X} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{bmatrix} X−1=det X1[1−111]=21[1−111]=[1/2−1/21/21/2]

将矩阵AAA 进行分解
A=XΛX−1=[1−111][2001/2][1/21/2−1/21/2]A=X\Lambda X^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2\\ -1/2 & 1/2 \end{bmatrix} A=XΛX−1=[11−11][2001/2][1/2−1/21/21/2]

其中 XXX 是由矩阵的各个特征向量组成的矩阵、 Λ\LambdaΛ 是由矩阵的各个特征值组成的

对矩阵 X、Λ、X−1X、\Lambda、X^{-1}X、Λ、X−1 对应的线性变换过程的可视化

矩阵 X−1X^{-1}X−1 将特征向量转换到了标准基的位置（我们将此时的特征向量称其为特征基）

矩阵 Λ\LambdaΛ 将特征基缩放了特征值大小

矩阵 XXX 将缩放后的特征基转换到特征向量的原本位置（原标准基的坐标系下）

1.4 计算 AkA^kAk

例子：

1.5 矩阵对角化的注意事项

可逆性与可对角化性无关！！！

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