P4315 月下“毛景树”

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  • 题目链接
  • 分析
  • 代码
    • 准备阶段
    • dfs
    • 线段树
      • 核心操作
      • 建树
      • 实现区间加
      • 实现区间和单点修改
      • 区间最大值查询
    • 树上操作
    • 主函数
  • 完整代码
    • 测试样例

题目大意

  1. Change k w：将第k条树枝边的边权改变为w。

  2. Cover u v w：将节点u与节点v之间的边上的边权全改变为w。（w不会为负值）

  3. Add u v w：将节点u与节点v之间的树枝上边的边权都增加w。

  4. Max u v：询问节点u与节点v之间边权。

题目链接

传送门

分析

可以很快意识到这是一题树链剖分题，不过和传统的树链剖分不一样，本题的权值是附在边上而不是节点上的。于是我们可以考虑在dfs的过程中将边权转化在点权上。由于父节点和它的子节点是一对多的关系，所以只能是将father -> son这条边的边权附在son上，否则若附在fahter上，fahter有极大可能会被重复赋值。这显然不是我们希望看见的。
我们还需要两种修改操作，因此需要两个lazytag，细节很多，详见代码。

代码

准备阶段

//变量声明
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, tot, cnt;
int head[N];
//深度，大小，父节点，重儿子，点的赋值
int dep[N], size[N],par[N], son[N], w[N];
//时间戳，对应的反函数，链顶
int dfn[N], pre[N], top[N];
//快读和链式前向星加边
inline int read(){int x = 0, op = 1;char ch = getchar();while (!isdigit(ch)){if (ch == '-') op = -1;ch = getchar();}while (isdigit(ch)){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);ch = getchar();}return x * op;
}inline void add_edge(int u, int v, int w){e[++tot] = {u, v, head[u], w};head[u] = tot;
}

dfs

//在第一次dfs完成点的赋值
void dfs1(int u, int fa){size[u] = 1;dep[u] = dep[fa] + 1;par[u] = fa;for (int i = head[u];i; i = e[i].nxt) {int v = e[i].to;if (v == fa) continue;w[v] = e[i].val;dfs1(v, u);size[u] += size[v];if (size[v] > size[son[u]])son[u] = v;}
}void dfs2(int u, int tp){top[u] = tp;dfn[u] = ++cnt;pre[cnt] = u;if (son[u])dfs2(son[u], tp);for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {int v = e[i].to;if (v != par[u] && v != son[u])dfs2(v, v);}
}

线段树

核心操作

线段树要完成操作：

  1. 区间加 add_interval
  2. 区间修改 modify_interval
  3. 单点修改 modify_point
  4. 区间最值访问 query_max

对1我们用懒标签add，对2和3用懒标签tag
想象一下对一个区间，如果先add再modify，区间修改的效果会覆盖区间加，所以可以确定优先级是tag比add大，也就是说tag会破坏掉add。我们把tag初始化为-1，add初始化为0.如果出现tag和add同时不为初始值的情况，一定是先区间修改，再区间加。因此可以确定关键操作push_down

int Max[N << 2], add[N << 2], tag[N << 2];inline void push_up(int i){Max[i] = max(Max[i << 1], Max[i << 1|1]);
}inline void push_down(int i){//如果tag和add都不为初始值，一定是先tag再addif (tag[i] != -1){add[i << 1] = add[i << 1|1] = 0;tag[i << 1] = tag[i <<1|1] = tag[i];Max[i << 1] = Max[i << 1|1] = tag[i];tag[i] = -1;}if (add[i] == 0) return;add[i << 1] += add[i];add[i << 1|1] += add[i];Max[i << 1] += add[i];Max[i << 1|1] += add[i];add[i] = 0;
}

建树

//tag的初始化在主函数中用memset实现
inline void buildTree(int i, int l, int r){if (l == r){Max[i] = w[pre[l]];return;}buildTree(i << 1, l, mid);buildTree(i << 1|1, mid + 1, r);push_up(i);
}

实现区间加

inline void add_interval(int i, int l, int r, int crtl, int crtr, int val){if (l > crtr || r < crtl)return;if (l >= crtl && r <= crtr){add[i] += val;Max[i] += val;return;}push_down(i);if (mid >= crtl)add_interval(i << 1, l, mid, crtl, crtr, val);if (mid < crtr)add_interval(i << 1|1, mid + 1, r, crtl, crtr, val);push_up(i);
}

实现区间和单点修改

inline void modify_interval(int i, int l, int r, int crtl, int crtr, int val){if (l > crtr || r < crtl)return;if (l >= crtl && r <= crtr){tag[i] = val;Max[i] = val;//tag会破坏掉addadd[i] = 0;return;}push_down(i);if (mid >= crtl)modify_interval(i << 1, l, mid, crtl, crtr, val);if (mid < crtr)modify_interval(i << 1|1, mid + 1, r, crtl, crtr, val);push_up(i);
}inline void modify_point(int i, int l, int r, int pos, int val){if (l == r){tag[i] = val;Max[i] = val;//tag会破坏掉addadd[i] = 0;return;}push_down(i);if (mid >= pos)modify_point(i << 1, l, mid, pos, val);elsemodify_point(i << 1|1, mid + 1, r, pos, val);push_up(i);
}

区间最大值查询

inline int query_max(int i, int l, int r, int crtl, int crtr){if (l > crtr || r < crtl)return 0;if (l >= crtl && r <= crtr){return Max[i];}int res = -INF;push_down(i);if (mid >= crtl)res = max(res, query_max(i << 1, l, mid, crtl, crtr));if (mid < crtr)res = max(res, query_max(i << 1|1, mid + 1, r, crtl, crtr));return res;
}

树上操作

代码大体上一样，值得注意的是当u和v在同一条重链上时通过swap使dep[u] <= dep[v]，此时编号为dfn[u]节点的权值是它的父节点到它的权值，不应该算进来

inline void tree_add(int u, int v, int val){while (top[u] != top[v]){if (dep[top[u]] < dep[top[v]])swap(u, v);add_interval(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u], val);u = par[top[u]];}if (dep[u] > dep[v])swap(u, v);//在同一条重链上，+1后必然还在这条链上add_interval(1, 1, n, dfn[u] + 1, dfn[v], val);
}inline void tree_modify(int u, int v, int val){while (top[u] != top[v]){if (dep[top[u]] < dep[top[v]])swap(u, v);modify_interval(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u], val);u = par[top[u]];}if (dep[u] > dep[v])swap(u, v);modify_interval(1, 1, n, dfn[u] + 1, dfn[v], val);
}inline int tree_max(int u, int v){int res = -INF;while (top[u] != top[v]){if (dep[top[u]] < dep[top[v]])swap(u, v);res = max(res, query_max(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u]));u = par[top[u]];}if (dep[u] > dep[v])swap(u, v);res = max(res, query_max(1, 1, n, dfn[u] + 1, dfn[v]));return res;
}

主函数

值得一提的是 Change k 是将第k条树枝边的边权改变为w， 我们要简单判断一下第k条边u <–> v的边权附给了那个节点。只需要通过dfs顺序dfn的大小或者是u，v的深度判断那个节点是子节点，再进行单点修改即可

int main() {//freopen("in.txt", "r", stdin);memset(tag, -1, sizeof(tag));n = read();for (register int i = 1, x, y, z; i <= n - 1; ++i) {x = read(), y = read(), z = read();add_edge(x, y, z), add_edge(y, x, z);}dfs1(1, 0);dfs2(1, 1);buildTree(1, 1, n);char opt[6] = {0};int a = 0, b = 0, c = 0;while (true){scanf("%s", opt);if (opt[0] == 'S')break;a = read(), b = read();if (opt[0] == 'M')printf("%d\n", tree_max(a, b));if (opt[1] == 'h'){a *= 2;int u = e[a].fr, v = e[a].to;int x = dfn[u] > dfn[v] ? u : v;modify_point(1, 1, n, dfn[x], b);}if (opt[1] == 'o'){c = read();tree_modify(a, b, c);}if (opt[1] == 'd'){c = read();tree_add(a, b, c);}}return 0;
}

完整代码

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define mid (l + r >> 1)
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, tot, cnt;
int head[N];
int dep[N], size[N],par[N], son[N], w[N];
int dfn[N], pre[N], top[N];
struct edge{int fr, to, nxt, val;
}e[N << 1];inline int read(){int x = 0, op = 1;char ch = getchar();while (!isdigit(ch)){if (ch == '-') op = -1;ch = getchar();}while (isdigit(ch)){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);ch = getchar();}return x * op;
}inline void add_edge(int u, int v, int w){e[++tot] = {u, v, head[u], w};head[u] = tot;
}void dfs1(int u, int fa){size[u] = 1;dep[u] = dep[fa] + 1;par[u] = fa;for (int i = head[u];i; i = e[i].nxt) {int v = e[i].to;if (v == fa) continue;w[v] = e[i].val;dfs1(v, u);size[u] += size[v];if (size[v] > size[son[u]])son[u] = v;}
}void dfs2(int u, int tp){top[u] = tp;dfn[u] = ++cnt;pre[cnt] = u;if (son[u])dfs2(son[u], tp);for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {int v = e[i].to;if (v != par[u] && v != son[u])dfs2(v, v);}
}int Max[N << 2], add[N << 2], tag[N << 2];inline void push_up(int i){Max[i] = max(Max[i << 1], Max[i << 1|1]);
}inline void push_down(int i){if (tag[i] != -1){add[i << 1] = add[i << 1|1] = 0;tag[i << 1] = tag[i <<1|1] = tag[i];Max[i << 1] = Max[i << 1|1] = tag[i];tag[i] = -1;}if (add[i] == 0) return;add[i << 1] += add[i];add[i << 1|1] += add[i];Max[i << 1] += add[i];Max[i << 1|1] += add[i];add[i] = 0;
}inline void buildTree(int i, int l, int r){if (l == r){Max[i] = w[pre[l]];return;}buildTree(i << 1, l, mid);buildTree(i << 1|1, mid + 1, r);push_up(i);
}inline void add_interval(int i, int l, int r, int crtl, int crtr, int val){if (l > crtr || r < crtl)return;if (l >= crtl && r <= crtr){add[i] += val;Max[i] += val;return;}push_down(i);if (mid >= crtl)add_interval(i << 1, l, mid, crtl, crtr, val);if (mid < crtr)add_interval(i << 1|1, mid + 1, r, crtl, crtr, val);push_up(i);
}inline void modify_interval(int i, int l, int r, int crtl, int crtr, int val){if (l > crtr || r < crtl)return;if (l >= crtl && r <= crtr){tag[i] = val;Max[i] = val;add[i] = 0;return;}push_down(i);if (mid >= crtl)modify_interval(i << 1, l, mid, crtl, crtr, val);if (mid < crtr)modify_interval(i << 1|1, mid + 1, r, crtl, crtr, val);push_up(i);
}inline void modify_point(int i, int l, int r, int pos, int val){if (l == r){tag[i] = val;Max[i] = val;add[i] = 0;return;}push_down(i);if (mid >= pos)modify_point(i << 1, l, mid, pos, val);elsemodify_point(i << 1|1, mid + 1, r, pos, val);push_up(i);
}inline int query_max(int i, int l, int r, int crtl, int crtr){if (l > crtr || r < crtl)return 0;if (l >= crtl && r <= crtr){return Max[i];}int res = -INF;push_down(i);if (mid >= crtl)res = max(res, query_max(i << 1, l, mid, crtl, crtr));if (mid < crtr)res = max(res, query_max(i << 1|1, mid + 1, r, crtl, crtr));return res;
}inline void tree_add(int u, int v, int val){while (top[u] != top[v]){if (dep[top[u]] < dep[top[v]])swap(u, v);add_interval(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u], val);u = par[top[u]];}if (dep[u] > dep[v])swap(u, v);add_interval(1, 1, n, dfn[u] + 1, dfn[v], val);
}inline void tree_modify(int u, int v, int val){while (top[u] != top[v]){if (dep[top[u]] < dep[top[v]])swap(u, v);modify_interval(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u], val);u = par[top[u]];}if (dep[u] > dep[v])swap(u, v);modify_interval(1, 1, n, dfn[u] + 1, dfn[v], val);
}inline int tree_max(int u, int v){int res = -INF;while (top[u] != top[v]){if (dep[top[u]] < dep[top[v]])swap(u, v);res = max(res, query_max(1, 1, n, dfn[top[u]], dfn[u]));u = par[top[u]];}if (dep[u] > dep[v])swap(u, v);res = max(res, query_max(1, 1, n, dfn[u] + 1, dfn[v]));return res;
}int main() {//freopen("in.txt", "r", stdin);memset(tag, -1, sizeof(tag));n = read();for (register int i = 1, x, y, z; i <= n - 1; ++i) {x = read(), y = read(), z = read();add_edge(x, y, z), add_edge(y, x, z);}dfs1(1, 0);dfs2(1, 1);buildTree(1, 1, n);char opt[6] = {0};int a = 0, b = 0, c = 0;while (true){scanf("%s", opt);if (opt[0] == 'S')break;a = read(), b = read();if (opt[0] == 'M')printf("%d\n", tree_max(a, b));if (opt[1] == 'h'){a *= 2;int u = e[a].fr, v = e[a].to;int x = dfn[u] > dfn[v] ? u : v;modify_point(1, 1, n, dfn[x], b);}if (opt[1] == 'o'){c = read();tree_modify(a, b, c);}if (opt[1] == 'd'){c = read();tree_add(a, b, c);}}return 0;
}

测试样例

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