【图论·习题】白银莲花池

题目描述

为了让奶牛们娱乐和锻炼，农夫约翰建造了一个美丽的池塘。这个长方形的池子被分成

了M行N列个方格（1 ≤ M, N ≤ 30）。一些格子是坚固得令人惊讶的莲花，还有一些格子是

岩石，其余的只是美丽、纯净、湛蓝的水。

贝西正在练习芭蕾舞，她站在一朵莲花上，想跳到另一朵莲花上去，她只能从一朵莲花

跳到另一朵莲花上，既不能跳到水里，也不能跳到岩石上。

贝西的舞步很像象棋中的马步：每次总是先横向移动一格，再纵向移动两格，或先纵向

移动两格，再横向移动一格。最多时，贝西会有八个移动方向可供选择。

约翰一直在观看贝西的芭蕾练习，发现她有时候不能跳到终点，因为中间缺了一些荷叶。

于是他想要添加几朵莲花来帮助贝西完成任务。一贯节俭的约翰只想添加最少数量的莲花。

当然，莲花不能放在石头上。

请帮助约翰确定必须要添加的莲花的最少数量。在添加莲花最少的基础上，确定贝西从

起点跳到目标需要的最少步数。最后，确定满足添加的莲花数量最少时，步数最少的路径条

数。

题解

这道题中，在每一步时有多个状态：最短路，添加莲花的数量和最短路径的方案数。

在最短路的状态计算时，可以使用BFSBFSBFS进行扩展。

但问题是如何计算添加莲花的数量和最短路径的方案数。

对于添加的莲花数：我们可以使用拆点的方法，把一个点分为多个状态
对于最短路径方案数：在更新路径时统计，如果路径相同则累加方案；如果可以更新最短路径，则在更新最短路径的同时重新改变方案数，即直接复制。

如何转移呢？假设当前所处的位置为(x,y)(x,y)(x,y),使用次数为useuseuse。disdisdis表示最短路径。

跳到荷花上时，用dis(i,j,use)+1dis(i,j,use)+1dis(i,j,use)+1更新(i,j,use+1)(i,j,use+1)(i,j,use+1)
调到水上时，用dis(i,j,use)+1dis(i,j,use)+1dis(i,j,use)+1更新(i,j,use)(i,j,use)(i,j,use)

最后循环枚举莲花数即可。注意常见坑点longlong。

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>#define LL long longusing namespace std;LL n,m,tot=0,x1,x2,y1,y2;
LL a[40][40];
LL dis[40][40][1000];
LL sum[40][40][1000];
LL dx[8]={-1,-2,-2,-1,1,2,2,1};
LL dy[8]={-2,-1,1,2,2,1,-1,-2};
struct node {LL x,y,u;
};int main(void)
{freopen("silvlily.in","r",stdin);freopen("silvlily.out","w",stdout);cin>>n>>m;for (LL i=1;i<=n;++i)for (LL j=1;j<=m;++j){cin>>a[i][j];if (a[i][j] == 3) x1=i,y1=j;if (a[i][j] == 4) x2=i,y2=j;if (a[i][j] == 0) tot ++;}memset(dis,10,sizeof(dis));dis[x1][y1][0]=0;sum[x1][y1][0]=1;queue < node > q;q.push(node{x1, y1, 0});while (q.size()){LL x=q.front().x;LL y=q.front().y;LL use=q.front().u;q.pop();if (use>tot) continue;for (LL i=0;i<8;++i){LL nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];LL val=(a[nx][ny] == 0 ? 1 : 0);if (nx<1 || nx>n || ny<1 || ny>m || a[nx][ny] == 2) continue;if (val == 0) goto no_drump;if (dis[x][y][use]+1 < dis[nx][ny][use+1]) {dis[nx][ny][use+1]=dis[x][y][use]+1;sum[nx][ny][use+1]=sum[x][y][use];q.push(node{nx, ny, use+1});}else if (dis[x][y][use]+1 == dis[nx][ny][use+1])sum[nx][ny][use+1]+=sum[x][y][use];continue;no_drump:if (dis[x][y][use]+1 < dis[nx][ny][use]){dis[nx][ny][use]=dis[x][y][use]+1;sum[nx][ny][use]=sum[x][y][use];q.push(node{nx, ny, use});}else if (dis[x][y][use]+1 == dis[nx][ny][use])sum[nx][ny][use]+=sum[x][y][use];}}for (LL i=0;i<=tot;++i)if (dis[x2][y2][i] != dis[0][0][i]){printf("%lld\n%lld\n%lld\n",i,dis[x2][y2][i],sum[x2][y2][i]);return 0;}cout<<-1<<endl;return 0;
}

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