第五讲交错级数、绝对收敛和条件收敛

一，负项级数可以通过添加负号转化为正项级数，因此不用讨论

二，交错级数

定义： $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}u_{n}=u_{1}-u_{2}+u_{3}-...+(-1)^{n-1}u_{n}+...$ ，（ $u_{n}> 0$ ）

三，交错级数的审敛法（又称Leibniz判别法）

若 $u_{n}\geq u_{n+1}> 0$ ，（ $n\in N$ ），即逐项递减
且 $\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0$ ，即通项趋于0
则 $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}u_{n}$ 收敛，其和 $s\leq u_{1}$
余项 $r_{n}=(-1)^{n}(u_{n+1}-u_{n+2}+u_{n+3}-...)$
截断误差：余项 $\left | r_{n} \right |\leq u_{n+1}$

四，数列的极限理论

一个数列，如果它的偶次项子数列收敛于s，奇次项子数列也收敛于s，那么整个数列将收敛于s。如图：

五，变号级数的审敛法

任意变号级数：非正项级数，非负项级数，也非交错级数。
设变号级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$
绝对收敛：若其绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛
推论：若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |$ 也发散
条件收敛：若其绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |$ 发散，而 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛

六，交错p-级数的敛散性

定义： $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}}$ ，（ $p> 0$ ）
当 $p> 1$ 时：其绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}}$ 绝对收敛
当 $0< p\leq 1$ 时：其绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}$ 发散，但其逐项递减 $\frac{1}{n^{p}}\geq \frac{1}{(n+1)^{p}}> 0$ ，且通项 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n^{p}}=0$ ，根据交错级数审敛法 $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}}$ 条件收敛

七，比值审敛法的推广

若 $\lim_{n\rightarrow \infty }\left |\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |< 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛
若 $\lim_{n\rightarrow \infty }\left |\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |> 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |$ 发散，因为 $\left |u_{n+1} \right |\geq \left |u_{n} \right |$ ，所以 $\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}\neq 0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散

八，根值审敛法的推广

若 $\lim_{n\rightarrow \infty }\left |\sqrt[n]{u_{n}} \right |< 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收敛
若 $\lim_{n\rightarrow \infty }\left |\sqrt[n]{u_{n}} \right |> 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |$ 发散， $\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}\neq 0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 发散

九，绝对收敛和条件收敛级数的性质

若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 都绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}+v_{n})$ 绝对收敛， $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}v_{n}$ 绝对收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 都条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}+v_{n})$ 不一定条件收敛， $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}v_{n}$ 不一定收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}$ 绝对收敛 $\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}+v_{n})$ 条件收敛

十，级数的重排（绝对收敛和条件收敛的区别）

变号级数绝对收敛的充要条件是级数的正部和负部都收敛。如图：
若变号级数条件收敛，则级数的正部和负部都发散。（逆命题不成立）。如图：
绝对收敛级数的交换律：绝对收敛级数任意重排后，其和不变，敛散性不变。
条件收敛级数不满足交换律：条件收敛级数任意重排后，其和可能改变，敛散性可能改变。（如果只是改变有限项的位置，不会对级数造成任何变化）。如图：

十一，判断极限敛散性的一般步骤

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