一致收敛和点态收敛

先看两者定义：
一致收敛：任意正数ϵ\epsilonϵ，存在N>0N>0N>0，当n>Nn>Nn>N时，对于任意xxx，∣fn(x)−f(x)∣<ϵ|f_n(x)-f(x)|<\epsilon∣fn(x)−f(x)∣<ϵ
点态收敛：对于每一个固定的xxx,任给正数ϵ\epsilonϵ,存在NNN（NNN和xxx,ϵ\epsilonϵ都有关），任意nnn满足n>Nn>Nn>N，有∣fn(x)−f(x)∣<ϵ|f_n(x)-f(x)|<\epsilon∣fn(x)−f(x)∣<ϵ。

有时候题目也会这样：
任意xxx,nnn足够大时f(x)f(x)f(x)收敛到极限函数
对于足够大的nnn,任意xxx,f(x)f(x)f(x)收敛到极限函数

可以看出:
1.两者最后收敛的结果都是极限函数，所以只要问收敛就要求极限函数。
2.两者的不同在于，
一致收敛先固定n，再看对任意x是否满足
点态收敛先固定x，看对任意n是否满足。
所以定义里xxx和NNN的顺序不同，这个要大大注意。

看下图是每个点都点态收敛，但是不一致收敛的例子。fn(x)=1xnf_n(x)=\frac{1}{x^n}fn(x)=xn1
点态收敛：固定x（就是沿着y轴看），可以看见n取得大一点，一定可以离极限函数足够近
一致收敛：固定n（就是沿着一条函数看），可以看见x离1越近就离极限函数越远。

绝对收敛和条件收敛

绝对收敛和条件收敛与一致收敛没关系，与点态收敛有关。
原数列每项加了绝对值以后收敛，则称绝对收敛，
若不绝对收敛，但是点态收敛，则称为条件收敛.
条件收敛→\to→点态收敛
绝对收敛→\to→点态收敛
一致收敛→\to→点态收敛
一致收敛和绝对收敛，条件收敛没有直接关系

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