排列组合——排列公式的推理和组合

加法原理和乘法原理，是排列组合中的二条基本原理，在解决计数问题中经常运用。掌握这两条原理，并能正确区分他们，至关重要。

加法原理

若完成一件事情有3类方式，其中第一类方式有1种方法，第二类方式有3种方法，第三类有2种方法，这些方法都不相同，但任选一种方法都可以完成此事，则完成这件事情共有1+3+2=6种方法，这一原理称为加法原理。
例如:从甲地到乙地有三类方式，一是汽车，二是火车，三是飞机。若一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有一班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法。共有2+4+1=7种。

乘法原理

若完成一件事情分r个步骤，其中第一个步骤有m1种方法，第二个步骤有m2种方法……第步骤共有mr种方法，各步骤连续或同时完成，这件事才算完成，则完成这件事共有m1*m2*……*mr种方法。
例如:从甲地到丙地必须经过乙地。从甲地到乙地有4条路线，从乙地到丙地有3条路线，问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
解：要从甲地到达丙地，必须经过两个步骤：先从甲地到乙地，有4条路线；再从乙地到丙地，有3条路线。只有这两个步骤都完成了，才能完成这种事情，缺少哪一个步骤都不行。因此从甲地到丙地共有4*3=12种走法。

加法原理和乘法原理的区别

以上两个基本原理在排列组合问题中将会反复使用。这两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题，但是又有根本区别。加法原理针对的是“分类”问题，若完成一件事情有多类方式，每一类方式的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事情，则用加法原理；而乘法原理针对的是“分步”问题，若完成一件事情必须依次经过多个步骤，每一个步骤的各种方法相互依存，只有各种步骤都完成才算做完成这种事情，则这时用乘法原理。

排列数公式推理过程

例：用1、2、3这3个数字可以组成多少个数字十位和个位不重复的两位数？
解：要组成数字不重复的两位数，需要经过两个步骤：第一步确定十位上的数，数字1、2、3都可以放在十位上，共有3种方法；第二步确定个位上的数，因为要求个位数与十位数不能重复，所以个位上的数，只能从三个数字中去掉十位数后所剩的两个数字中任选一个，共有2种方法。只有十位和个位上的数都确定了，才能组成数字不重复的两位数，这两个步骤缺少哪一个都不行。因此，根据乘法原理，3*2=6.

上例中，我们把数字1、2、3称为元素。组成数字不重复的两位数这个问题，从3个不同的元素中任取2个，然后按顺序排成一列数，由于这样的排列与数字不重复的两位数是一一对应的，因此求数字不重复的两位数的个数等同于求这样的排列个数。

推理过程：从n个不同元素中取出m个不同元素排成一列，必须经过m个步骤。
第一步，确定第1个位置上的元素,可以从这n个元素中任取1个放在这个位置上，共有n种方法，即n-(1-1)括号内为位置数减1；
第二步，确定第2个位置上的元素，可以从剩下的n-1个元素中任取1个放在这个位置上，共有n-1种方法，即n-(2-1)；
……
第m步，确定第m位置上的元素，第m位置上的元素从剩下的n-(m-1)个元素中任选一个，共有n-m+1种方法。根据乘法原理，全部确定这m个位置的元素共有n(n-1)(n-2)……*（n-m+1）种方法。由于一种方法对应一个排列，所以所有这样排列的个数即排列数。

不可重复排列数公式.png

组合

排列是一个与次序有关的概念，如12,21这两个数字是两个不同的排列，但是在组合里，12和21是一个意思，因为12和21都是由1和2组合而成的，所以顺序并不会影响对组合的判断，因此，组合是与排列概念不同的问题。

从n个不同的元素中，每次取出m个（m<=n）不同元素，不考虑顺序组成一组，叫做从n个元素中每次取出m个元素的组合。这样得出的组合个数称为组合数，记作C (n,m)

求从n个不同元素中取出m个元素的排列数A(n,m)，可以按以下两个步骤进行：
第一步，求出这n个不同元素中取出m个元素的组合数C (n,m),
第二步，求出每一个组合中m个元素的全排列数A(m,m)，根据乘法原理得出，A(n,m)=C (n,m)*A(m,m),

不可重复组合公式:C (n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/m!(n-m)!,
可重复组合公式：C (n,m)=(m+n-1)!/(m!(n-1)!)
对于实际问题，必须正确判别是排列问题还是组合问题，其区别的关键在于要不要将所取出的元素进行排队。若要排队，则是排列问题，若不要排队，则是组合问题。
以下为组合数计算器python代码。
#!/usr/bin/env python3
# -- coding: utf-8 -*-

import math
from tkinter import *
class Window:def __init__(self, title='组合数计算器', width=300, height=120, staFunc=bool, stoFunc=bool):self.w = widthself.h = heightself.stat = Trueself.staFunc = staFuncself.stoFunc = stoFuncself.staIco = Noneself.stoIco = Noneself.root = Tk(className=title)def drawCenter(self):ws = self.root.winfo_screenwidth()#用户屏幕宽度hs = self.root.winfo_screenheight()#用户屏幕高度x = int( (ws/2) - (self.w/2) )#距屏幕左边框的像素点数y = int( (hs/2) - (self.h/2) )#距屏幕上边框的像素点数self.root.geometry('{}x{}+{}+{}'.format(self.w, self.h, x, y))def createWidgets(self):Label(self.root, text="所有元素数n：").grid(row=0,sticky=E)Label(self.root, text="取出的元素数m：").grid(row=1,sticky=E)Label(self.root, text="不可重复组合数：").grid(row=2,sticky=E)Label(self.root, text="可重复组合数：").grid(row=3,sticky=E)self.e1 = Entry(self.root)self.m = StringVar()self.e2 = Entry(self.root,textvariable=self.m)self.a1 = StringVar()self.e3 = Entry(self.root,textvariable=self.a1)self.a2 = StringVar()self.e4 = Entry(self.root,textvariable=self.a2)self.e1.grid(row=0, column=1)self.e2.grid(row=1, column=1)self.e3.grid(row=2, column=1)self.e4.grid(row=3, column=1)self.btnSer = Button(self.root, command=self.click, width=3, height=1,text='运行')self.btnSer.grid(row=4,column=1,sticky=E)btnQuit = Button(self.root, text='关闭窗口', command=self.root.quit, width=8, height=1)btnQuit.grid(row=4,column=2)def click(self):n=int(self.e1.get())m =int(self.e2.get())#组合数a1=math.factorial(n)/math.factorial(m)/math.factorial(n-m)self.a1.set(int(a1))#不可重复组合数a2=math.factorial(n+m-1)/(math.factorial(m)*math.factorial(n-1))self.a2.set(int(a2))def loop(self):self.root.resizable(False, False)   #禁止修改窗口大小self.createWidgets()self.drawCenter()                       #窗口居中self.root.mainloop()if __name__ == '__main__':w = Window(width=350, height=150)w.loop()

有5个数字，取两个数字进行组合的计算结果。

组合数计算器.png

作者：勇赴
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