平均数

比如我们有n个数据： {1, 2, 3, 4, ...}我们想要得到 “一个常数C”，用这1个常数C 就可以代表这个n个数据！我们以往只知道 用： C = (1+2+3+4+...)/n 这个公式但其实，计算C的方法 有很多种....因为，当数据（即这些1,2,3...） 表示 “不同的 含义”时
计算C的方法，也就不同！

算术平均数

数据： {5,  -7.5}  ' 此时是无法求平均数的！！ 因为不知道他的含义！！ '
背景： 最初有X元，第一年赚了5，第二年赚了（-7.5）
问：   平均每年赚多少钱？？？' 设答案为avg，最终要满足： X + (avg * 2) == X + 5 - 7.5 ' 此时用算术平均数： avg = Sum{ data... } / n
avg = (5 - 7.5) / 2 = -1.25， 表示： “平均 每年 赚 -1.25”验证：  X - 1.25 - 1.25 = X + 5 - 7.5

几何平均数

数据： {4， 9}  ' 此时是无法求平均数的！！ 因为不知道他的含义！！ '
背景：最初有X元，第一年 的改变率是 4（意味着： 变成了4X）第二年 的变化率是 9（意味着： 4X * 9 = 36X）
问：  平均 每年的 变化率？' 设答案是avg，最终要满足： X * avg * avg = X * 4 * 9 = 36X '如果用，算术平均数： avg = (4 + 9) / 2 = 6.5
X * 6.5 * 6.5 = 42.25X  != 36X，错误此时要用： 几何平均数：  avg = ( data乘积 ) 的 n次方根
avg = Sqrt(4 * 9) =  6验证：  X * 6 * 6 = 36X

调和平均数

数据： {80, 20}
背景： 有一段公路（前半段 == 后半段），前半段速率是80，后半段速率是20
问： 平均 速率是多少？' 设答案是avg， 满足： (X/avg) + (X/avg) = (X/80) + (X/20) = 总花费时间 '' X为半段路程长度 '此时，便是 调和平均数。 因为，前后两路程相同，而且 是“未知”的， 保证的是一个“除法”（时间 = len / speed）调和平均数 =  n / ( (1/a) + (1/b) + (1/c) + .. )
avg = 2 / ( (1/80) + (1/20) ) = 32即，2 * (X / 32) == (X/80) + (X/20) = 花费总时间

总结

算术平均数利用加法，几何平均数则利用乘法，调和平均数使用倒数
当然，其实你没有必要去背诵每个平均数的公式！！！
因为，他是可以推导出来的！！！根据你的实际需求！！

算术-几何平均数

http://www.360doc.com/content/18/0721/07/6598516_772058398.shtml
https://blog.csdn.net/qq61394323/article/details/51491971?locationNum=13&fps=1
https://www.sohu.com/a/241295939_614593

正态分布

https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83/829892?fr=aladdin

标准差、方差

先有的方差，然后才有的标准差，你可以把他俩看成是一个东西！！
或者，你可以认为：只有方差这一个东西。
（因为，标准差是由方差推导而来的，仅仅是取个平方根）
为什么要进行推导，多产生一个标准差呢？？
；；；因为，他俩的“量纲”不同（换句话说，他们的单位不同）
为了统一单位，方便计算，得到这个标准差
（即，我们平时用的都是标准差，用不到方差，他仅仅为了得到标准差）

n个数据{X1, X2, X3, …, Xn}，其平均数为： X‾\overline{X}X
方差： ∑i=1n(Xi−X‾)2n\frac{\sum^{n}_{i=1}{(Xi - \overline{X})^2}}{n}n∑i=1n(Xi−X)2

标准差，是方差的平方根，他俩本质都一样。
因此，我们重点介绍标准差

标准差（或方差）：描述很多数据 距离平均值avg 的 “离散”程度
令标准差为：M，这n个数据的平均数为：Avg
他一定是满足：
有>=(1/ 2\sqrt{2}2) = 68%的数据，处于： [Avg - M, Avg + M]的范围
有>=(2/ 2\sqrt{2}2) = 95%的数据，处于： [Avg - 2M, Avg + 2M]的范围
有>=(3/ 2\sqrt{2}2) = 99%的数据，处于： [Avg - 3M, Avg + 3M]的范围
标准差越小，说明：所有数据都越接近 Avg
；；注意，他是和“平均值avg” 密切相关的！！！
；；他并不是反映：这些数据的密集/稀疏情况！！
（20个1， 1个1000）：这些数据是比较“密集”的，毕竟20个点都是1个位置上
；；只有1个1000，偏离了出去。他的标准差为： 217
（0, 5, 10, 15, 20… {公差为5，共20项}）：这些数据要比上面数据 “稀疏”
；；但他的标准差为：28

因此，标准差并不是看：这些数据的离散情况！！！他是和“平均数Avg” 密切相关的！！
他是：各数据与“平均值Avg”的稠密(偏离)情况
即，异常值会很影响标准差，因为异常值会影响Avg

异常值去除

很多数据，得到了他的算术Avg 和 标准差std
我们就可以知道：有68%的数据，处于：  [Avg - std,  Avg + std]的范围有95%的数据，处于：  [Avg - 2std,  Avg + 2std]的范围有99%的数据，处于：  [Avg - 3std,  Avg + 3std]的范围那么， 如果对于那些 “除于范围以外的 %1 或 %5” 的数据，我们就可以当做： 异常值for(auto i : data){if( abs(i - Avg) >= (std * param) ){ i是异常值; }
}
' 当param取为3时， 称为：拉依达方法 去除异常值;  当然，你也可以取2 '标准差，就是代表了一个“正态分布图” （Avg为 平均值，M为 标准差）[Avg-3M] [Avg-2M] [Avg-M] [Avg] [Avg+M] [Avg+2M] [Avg+3M]处于两端外的数据： abs( raw_data - Avg ) >= 3M，就可以把他当成 异常值。注意，标准差（这个正态分布图），是与 你的raw_data的次序 没有关系的！！你的raw_data是 {1,2,3,4,5} 和 {2,3,4,5,1}，得到的情况 是完全一样的！！！他的这个“去除异常值”，并不是“曲线光滑”，与“曲线光滑”无关！！！
(0,10,20,30,40) 这个数据是非常光滑的！！！（直线）
而(10,20,30,40,0)中 最后的0，显然是“异常值”（这个0，导致一个大的拐点）但用这种方法（标准差去除） 是去除不掉的！！这种方法，只是看的 这整个集合的数据，与原生数据的次序 无关！！！
最先被去除的异常值X，一定是： abs(X - avg)最大的，然后是abs(X - avg)次大的

等差数列

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]：            avg=3， 标准差=2
[0, 10, 20, 30, 40, 50, 60]：   avg=30, 标准差=20
1个标准差区间： [1, 5] 和 [10, 50]
2个标准差区间： [-1, 7] 和 [-10, 70]1， 标准差，对相对于不同数列而言的； 不同数列，标准差不同不同数列间，不能比较他们的标准差，没有意义他只能作用于，一个数列中“标准差的大小，只能反映： 该数列中 所有数据与avg的倾向程度”
2， 标准差区间，对于 “等差数列”，效果是一样的注意，我们说的是：“标准差区间”，而不是“标准差”以上面的“等差数列”来看， 虽然avg 和 标准差，都不同但是，其标准差区间 [avg - k*标准差, avg + k*标准差]所反映的意义，是相同的

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