【微波技术与电路】02 有界空间的微波

在低频时，可以利用电路方程解决实际问题，而不必研究电磁场的具体分布。这是因为场与电荷、电流的关系比较简单，从而场在电路中的作用可以通过一些集总的参数表示出来，如电压、电流；电阻、电容、电感等。
在高频情况下，场的波动性变得显著。随着频率的升高，电路方程也逐渐失效。需要直接研究场和电荷、电流的相互作用，解出电磁场，才能解决电磁能量的传输问题。

不同频率的电磁波具有不同传播特性和能量耗散特征，从而在工程上采取不同的传播方式：

	低频电磁波	较高频电磁波	微波
频率范围		一般分米波段	0.3GHz∼300GHz0.3{\rm GHz}\sim300{\rm GHz}0.3GHz∼300GHz 1m∼1mm1{\rm m}\sim1{\rm mm}1m∼1mm
传输方式	双线系统	同轴线	波导管
备注		∼ν4\sim\nu^4∼ν4 辐射的功率损耗	趋肤效应增强焦耳损耗增大

传统的波导一般由金属制成，被称为 金属波导 。随着近年来光通信的发展， 介质波导 （例如由不导电的光介质构成的光纤）变得十分普遍。 谐振腔 一般是由金属或导电介质所围成的一个封闭空间，它的主要作用是进行频率的选择（滤波）。正是由于在实际中的广泛应用，波导与谐振腔中的电磁波的传播问题值得单独加以讨论。

为了简化讨论，我们这里假定波导管的电磁和几何性质沿着电磁波传播的方向具有平移不变性，电磁波沿着该波导管的平移对称轴（我们取为 zzz 轴）在介质中传播。由于在波导边界面上必须满足一定的边界条件，这些传播的电磁波会表现出与无限介质中的电磁波传播不同的一些特性。

波导中电磁波的边值问题

如果不考虑边界条件，波导中电磁场满足的方程和无限介质中的相同。场量的单色时谐解例如 E(r,t)=E0(r)e−iωt\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})e^{-i\omega{t}}E(r,t)=E0(r)e−iωt 满足 Helmholtz 方程

(∇2+ω2εμ)(EB)=0(\nabla^2+\omega^2\varepsilon\mu)\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}=0 (∇2+ω2εμ)(EB)=0

利用时谐解满足的 Maxwell 方程组，可将电磁场 横向分量 例如 Eτ≡−(E×e^z)×e^z\boldsymbol{E}_\tau\equiv-(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{\hat e}_z)\times\boldsymbol{\hat e}_zEτ≡−(E×e^z)×e^z 用 纵向分量 Ez≡Eze^z\boldsymbol{E}_z\equiv{E}_z\boldsymbol{\hat e}_zEz≡Eze^z 表示，从而只需要求解关于纵向分量 (Ez,Bz)(E_z,B_z)(Ez,Bz) 的边值问题。

假设波导在电磁波的导行方向 zzz 上有平移不变性，波导中的电磁场可以写为 E(r,t)=E0(x,y)ei(±kzz−ωt)\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\boldsymbol{E}_0(x,y)e^{i(\pm{k}_zz-\omega{t})}E(r,t)=E0(x,y)ei(±kzz−ωt) ，其中 kzk_zkz 是 导行电磁波的波数 。代入 Helmholtz 方程（它显然是时谐的）就得到

(∇τ2+ω2εμ−kz2)(EB)=0(\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}=0 (∇τ2+ω2εμ−kz2)(EB)=0

考虑以下展开式

原形式	展开形式
∇\nabla∇	∇τ+∂∂ze^z\nabla_\tau+\cfrac{\partial}{\partial{z}}\boldsymbol{\hat e}_z∇τ+∂z∂e^z
∇2\nabla^2∇2	∇τ2+∂2∂z2\nabla^2_\tau+\cfrac{\partial^2}{\partial{z^2}}∇τ2+∂z2∂2
E\boldsymbol{E}E	Eτ+Eze^z\boldsymbol{E}_\tau+E_z\boldsymbol{\hat e}_zEτ+Eze^z
∇×E=iωB\nabla\times\boldsymbol{E}=i\omega\boldsymbol{B}∇×E=iωB	∇τ×Eτ=iωBz\nabla_\tau\times\boldsymbol{E}_\tau=i\omega\boldsymbol{B}_z∇τ×Eτ=iωBz ∇z×Eτ+∇τ×Ez=iωBτ\nabla_z\times\boldsymbol{E}_\tau+\nabla_\tau\times\boldsymbol{E}_z=i\omega\boldsymbol{B}_\tau∇z×Eτ+∇τ×Ez=iωBτ
∇×B=−iωεμE\nabla\times\boldsymbol{B}=-i\omega\varepsilon\mu\boldsymbol{E}∇×B=−iωεμE	∇τ×Bτ=−iωεμEz\nabla_\tau\times\boldsymbol{B}_\tau=-i\omega\varepsilon\mu\boldsymbol{E}_z∇τ×Bτ=−iωεμEz ∇z×Bτ+∇τ×Bz=−iωεμEτ\nabla_z\times\boldsymbol{B}_\tau+\nabla_\tau\times\boldsymbol{B}_z=-i\omega\varepsilon\mu\boldsymbol{E}_\tau∇z×Bτ+∇τ×Bz=−iωεμEτ
∇⋅(EB)=0\nabla\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}=0∇⋅(EB)=0	∇⋅(EτBτ)=−∂∂z(EzBz)\nabla\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_\tau\\\boldsymbol{B}_\tau\end{pmatrix}=-\cfrac{\partial}{\partial{z}}\begin{pmatrix}E_z\\B_z\end{pmatrix}∇⋅(EτBτ)=−∂z∂(EzBz)

从而可以将 Eτ\boldsymbol{E}_\tauEτ 和 Bτ\boldsymbol{B}_\tauBτ 用 Ez,BzE_z,B_zEz,Bz 解析地表出：

Eτ=±iω2εμ−kz2[kz∇τEz∓ω(e^z×∇τ)Bz]Bτ=±iω2εμ−kz2[kz∇τBz±ωμε(e^z×∇τ)Ez]\begin{aligned} \boldsymbol{E}_\tau&=\frac{\pm{i}}{\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2}[k_z\nabla_\tau{E}_z\mp\omega(\boldsymbol{\hat e}_z\times\nabla_\tau)B_z]\\ \boldsymbol{B}_\tau&=\frac{\pm{i}}{\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2}[k_z\nabla_\tau{B}_z\pm\omega\mu\varepsilon(\boldsymbol{\hat e}_z\times\nabla_\tau)E_z] \end{aligned} EτBτ=ω2εμ−kz2±i[kz∇τEz∓ω(e^z×∇τ)Bz]=ω2εμ−kz2±i[kz∇τBz±ωμε(e^z×∇τ)Ez]

波导的边界是理想导体，其内部电磁场量为零，而交界面上可以存在面电荷、面电流。
所以边界上允许有非零的 Dn,Ht\boldsymbol{D}_n,\boldsymbol{H}_tDn,Ht ，而 Bn=0,Et=0\boldsymbol{B}_n=0,\boldsymbol{E}_t=0Bn=0,Et=0 。从而

(n×E)∣S=0(n⋅B)∣S=0(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{E})\Big|_S=0\qquad(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{B})\Big|_{S}=0 (n×E)∣∣∣S=0(n⋅B)∣∣∣S=0

注意这里有两套坐标：纵向 zzz （电磁波的导行方向）和横向 τ\tauτ ；界面的法向 nnn 和切向 ttt 。显然界面的法向是导行电磁波的横向。上述边界条件可以进一步讨论化简，最后得到电磁场的本征值问题

(∇τ2+ω2εμ−kz2)Ez(x,y,z)=0(∇τ2+ω2εμ−kz2)Bz(x,y,z)=0Ez∣S=0∂Bz∂n∣S=0\begin{aligned} (\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)E_z(x,y,z)=0\\ (\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)B_z(x,y,z)=0\\ E_z\Big|_S=0\qquad\frac{\partial{B_z}}{\partial{n}}\bigg|_S=0 \end{aligned} (∇τ2+ω2εμ−kz2)Ez(x,y,z)=0(∇τ2+ω2εμ−kz2)Bz(x,y,z)=0Ez∣∣∣S=0∂n∂Bz∣∣∣∣S=0

对于一定的频率 ω\omegaω ，只有某些 kzk_zkz 的电磁波满足微分方程和边界条件，可以导行（波导）；
对于一定的波数 kzk_zkz ，只有某些频率 ω\omegaω 的电磁波满足微分方程和边界条件，允许存在（谐振腔）。

两个边界条件是截然不同的，对应着不同的本征值， 一般无法同时满足 。
考虑到横向分量可以用纵向分量解析表示，按照纵向分量的行为就可以将导行电磁波分类。上述边值问题还说明了金属波导的一个重要特性：横电和横磁模式是完全分离的，互相没有干扰。它们各自由自己的边条件所完全确立：

横电波 （TE）

(∇τ2+ω2εμ−kz2)Bz(x,y,z)=0Ez≡0∂Bz∂n∣S=0\begin{aligned} (\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)&B_z(x,y,z)=0\\ E_z\equiv0\qquad&\cfrac{\partial{B_z}}{\partial{n}}\bigg|_S=0 \end{aligned} (∇τ2+ω2εμ−kz2)Ez≡0Bz(x,y,z)=0∂n∂Bz∣∣∣∣S=0

横磁波 （TM）

(∇τ2+ω2εμ−kz2)Ez(x,y,z)=0Bz≡0Ez∣S=0\begin{aligned} (\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)&E_z(x,y,z)=0\\ B_z\equiv0\qquad&E_z\Big|_S=0 \end{aligned} (∇τ2+ω2εμ−kz2)Bz≡0Ez(x,y,z)=0Ez∣∣∣S=0

横电磁波 （TEM）

k=kze^zkz=ωεμEz≡0Bz≡0\begin{aligned} \boldsymbol{k}=k_z\boldsymbol{\hat e}_z\qquad&k_z=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}\\ E_z\equiv0\qquad&B_z\equiv0 \end{aligned} k=kze^zEz≡0kz=ωεμBz≡0

介质波导没有这样的好性质。

截止频率

沿传播方向的波矢分量（即导行波的波数） kz2>0k_z^2>0kz2>0 时电磁波才可以导行，否则将导致衰减项 e−(Rekz)ze^{-({\rm Re}k_z)z}e−(Rekz)z 。而 kz2=ω2εμ−kτ2k_z^2=\omega^2\varepsilon\mu-k_\tau^2kz2=ω2εμ−kτ2 ，所以 TE 波和 TM 波的频率有下限

ω∗=kτεμ\omega^*=\frac{k_\tau}{\sqrt{\varepsilon\mu}} ω∗=εμkτ

称为 截止频率 。这表明波导是高通滤波器。

横电磁波 kτ2=ω2εμ−kz2≡0k_\tau^2=\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2\equiv{0}kτ2=ω2εμ−kz2≡0 ，从而截止频率为零，在波导中的传播不受限制。事实上对于 TEM 波： {E,B,k}\{\boldsymbol{E},\boldsymbol{B},\boldsymbol{k}\}{E,B,k} 构成右手系，波速 vp=cn(ω)v_p=\cfrac{c}{n(\omega)}vp=n(ω)c ，色散关系 k(ω)=ωεμk(\omega)=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}k(ω)=ωεμ ，和无界空间中传播的平面电磁波完全相同。

但是， TEM 模式无法在一个单连通截面的波导管中存在，因为一个二维单连通区域中的拉普拉斯方程

∇τ2(EτBτ)=0\nabla^2_\tau\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_\tau\\\boldsymbol{B}_\tau\end{pmatrix}=0 ∇τ2(EτBτ)=0

如果它的解在边界为零，在该区域内也一定恒等于零。物理上，因为导体表面等势，导体内部电场为零（这里省略了类比推理）。所以横电磁波不可以在单个导体中传播；实际应用中，可以使用同轴电缆、平行导线等 能支持电势差的结构 来实现 TEM 模式的传播。

相速度和群速度

关系式 kz2=ω2εμ−kτ2k_z^2=\omega^2\varepsilon\mu-k_\tau^2kz2=ω2εμ−kτ2 利用截止频率改写成

kz=εμω2−ω∗2k_z=\sqrt{\varepsilon\mu}\sqrt{\omega^2-\omega^*{}^2} kz=εμω2−ω∗2

这可以看作波导中的色散关系。从而对于横电、横磁模式

相速度 vp=ωkz=1εμ11−(ω∗/ω)2>1εμ=cnv_p=\cfrac{\omega}{k_z}=\cfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\cfrac{1}{\sqrt{1-(\omega^*/\omega)^2}}>\cfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=\cfrac{c}{n}vp=kzω=εμ11−(ω∗/ω)21>εμ1=nc
群速度 vg=1kz′(ω)=1εμ1−(ω∗/ω)2<1εμ=cnv_g=\cfrac{1}{k_z'(\omega)}=\cfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{1-(\omega^*/\omega)^2}<\cfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=\cfrac{c}{n}vg=kz′(ω)1=εμ11−(ω∗/ω)2<εμ1=nc

二者乘积为介质光速的平方。如果介质为真空，会有 vp>cv_p>cvp>c 和 vg<cv_g<cvg<c 。在电磁波频率接近截止频率 w∗w^*w∗ 时，相速度趋于无穷。当然根据定义，波导内电磁能量的流动速度应该用群速度描述。

波阻抗

定义波导中的 波阻抗

Z=EτHτ={kzεω=kzkμε≤μεTM波μωkz=kkzμε≥μεTE波Z=\frac{E_\tau}{H_\tau}=\begin{cases} \cfrac{k_z}{\varepsilon\omega}=\cfrac{k_z}{k}\sqrt{\cfrac{\mu}{\varepsilon}}\leq\sqrt{\cfrac{\mu}{\varepsilon}}\quad&\text{TM波}\\ \cfrac{\mu\omega}{k_z}=\cfrac{k}{k_z}\sqrt{\cfrac{\mu}{\varepsilon}}\geq\sqrt{\cfrac{\mu}{\varepsilon}}\quad&\text{TE波} \end{cases} Z=HτEτ=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧εωkz=kkzεμ≤εμkzμω=kzkεμ≥εμTM波TE波

导行电磁波的横波性

讨论无界介质时曾将 Maxwell 方程组中的 ∇⋅(EB)=0\nabla\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}=0∇⋅(EB)=0 称为横波性条件，但它不足以保证电磁场的解是 k⋅(EB)≡0\boldsymbol{k}\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}\equiv0k⋅(EB)≡0 的横波。有界空间中的电磁波当然也服从 Maxwell 方程组，但已经看到电磁波解未必是横波。
∇≡ik\nabla\equiv{i}\boldsymbol{k}∇≡ik 只对于无界区域的平面电磁波 E(r)=E0eik⋅r\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{E}_0e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}E(r)=E0eik⋅r 成立！

在波导中导行的任意电磁波，在边界条件的限制下一般有非零的 Ez,HzE_z,H_zEz,Hz 分量，不是横波。但它们总可以用 TE 、TM 、TEM 波来描述。横电波满足 k⊥E\boldsymbol{k}\perp\boldsymbol{E}k⊥E ，横磁波满足 k⊥B\boldsymbol{k}\perp\boldsymbol{B}k⊥B 。