1 状态观测器

在工程上，部分状态参数测量的成本过高，或是用现有仪器无法测得，此时需要引入状态观测器。状态观测器以原系统输入、输出为输入，输出估计的状态变量。

原系统状态描述：
{xk=Axk−1+Buk−1yk=Cxk\begin{cases} x_k=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}\\ y_k=Cx_k\\\end{cases}{xk​=Axk−1​+Buk−1​yk​=Cxk​​

状态观测器状态描述：
{x~k=Ax~k−1+Buk−1+f[yk−1−y~k−1]y~k=Cx~k\begin{cases} \tilde{x}_k=A\tilde{x}_{k-1}+Bu_{k-1}+f\left[ y_{k-1}-\tilde{y}_{k-1} \right]\\ \tilde{y}_k=C\tilde{x}_k\\\end{cases}{x~k​=Ax~k−1​+Buk−1​+f[yk−1​−y~​k−1​]y~​k​=Cx~k​​

定义误差向量ek=xk−x~ke_k=x_k-\tilde{x}_kek​=xk​−x~k​，则两系统状态方程相减得

系统误差传递方程ek=(A−fC)ek−1系统误差传递方程e_k=\left( A-fC \right) e_{k-1}系统误差传递方程ek​=(A−fC)ek−1​

其通解为矩阵指数函数，所以当A−fCA-fCA−fC特征值小于0时，误差向量eke_kek​各分量均趋于0，即状态观测器能直接估计原系统状态。

本质上，状态观测器是针对状态空间方程描述的确定系统，从错误的系统状态估计值不断收敛到正确的系统状态估计值的数学模型。

2 状态滤波器

实际的系统往往是随机过程，状态描述为：

{xk=Axk−1+Buk−1+wk−1yk=Cxk+vk\begin{cases} x_k=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}+w_{k-1}\\ y_k=Cx_k+v_k\\\end{cases}{xk​=Axk−1​+Buk−1​+wk−1​yk​=Cxk​+vk​​

其中wkw_kwk​称为过程噪声，主要由系统运行过程中的外力导致，如旋翼飞行器运动过程中受到的阵风；vkv_kvk​称为测量噪声，主要由系统测量过程中测量仪器误差、精度不足导致。

本质上，状态滤波器是针对随机状态空间方程描述的随机系统，从不确定观测中提取信息，得到系统状态最优估计的数学模型。当wkw_kwk​与vkv_kvk​为高斯白噪声且相互独立时，状态滤波器为卡尔曼滤波器。

状态滤波器的核心是通过贝叶斯原理不断调整滤波器增益矩阵，以减小随机干扰，使估计的系统状态趋近于真实状态；而状态观测器的核心是通过极点配置确定观测器增益矩阵，使估计的状态跟踪当前系统的状态。

一般地，状态滤波器性能优于状态观测器，但在实际系统中，若随机噪声非高斯噪声，或有若干非线性环节，按常规噪声模型建立的状态滤波器可能发散，此时则更需要状态观测器的稳定性。

3 卡尔曼滤波器

机器学习：详解贝叶斯网络+例题分析曾提到贝叶斯方法的思考模式：

参数先验信息π(θ)+样本观测数据X=后验分布P(θ∣X)\text{参数先验信息}\pi \left( \theta \right) +\text{样本观测数据}X=\text{后验分布}P\left( \theta |X \right)参数先验信息π(θ)+样本观测数据X=后验分布P(θ∣X)

即在得到新的样本信息之前，人们对模型的认知是先验分布π(θ)\pi \left( \theta \right)π(θ)，在得到新的样本信息XXX后，人们对模型的认知为后验分布P(θ∣X)P\left( \theta |X \right)P(θ∣X)。

由此引出卡尔曼滤波器。考虑一个随机系统：

{xk=Axk−1+Buk−1+wk−1zk=Cxk+vk\begin{cases} x_k=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}+w_{k-1}\\ z_k=Cx_k+v_k\\\end{cases}{xk​=Axk−1​+Buk−1​+wk−1​zk​=Cxk​+vk​​

其中wkN(0,Q)w_k~N\left( 0, Q \right)wk​ N(0,Q)、vkN(0,R)v_k~N\left( 0, R \right)vk​ N(0,R)，且wkw_kwk​与vkv_kvk​相互独立。

忽略噪声可建立该系统的先验数学模型(噪声仅满足随机分布，无法建模)：

状态预测方程{x^k−=Ax^k−1+Buk−1z^k−=Cx^k{\text{状态预测方程}\begin{cases} \hat{x}_{k}^{-}=A\hat{x}_{k-1}+Bu_{k-1}\\ \hat{z}_{k}^{-}=C\hat{x}_k\\\end{cases}}状态预测方程{x^k−​=Ax^k−1​+Buk−1​z^k−​=Cx^k​​

基于上述系统，从贝叶斯方法引出卡尔曼滤波器状态更新方程：

状态更新方程:x^k=x^k−+Kk(zk−z^k−){\text{状态更新方程}: \hat{x}_k=\hat{x}_{k}^{-}+K_k\left( z_k-\hat{z}_{k}^{-} \right) }状态更新方程:x^k​=x^k−​+Kk​(zk​−z^k−​)

其中x^k\hat{x}_kx^k​是后验状态估计，即经过一次修正后，当前系统状态的最优估计值；x^k−\hat{x}_{k}^{-}x^k−​为系统状态的先验估计；zkz_kzk​为当前状态的测量样本值；z^k−\hat{z}_{k}^{-}z^k−​为当前状态的先验测量值；zk−z^k−z_k-\hat{z}_{k}^{-}zk​−z^k−​代表实际系统与估计系统间随机误差的影响；KkK_kKk​权衡先验模型与实测数据间对后验分布的关系，称为卡尔曼增益，显然，zk−z^k−z_k-\hat{z}_{k}^{-}zk​−z^k−​越小表明实际与预测越接近，则后验分布越趋近于先验分布，zk−z^k−z_k-\hat{z}_{k}^{-}zk​−z^k−​越大表明预测越不可信，需要通过实测来大幅修正先验分布。

下面要确定KkK_kKk​使后验模型的修正效果最佳，即x^k\hat{x}_kx^k​越接近真实值xk{x}_kxk​。定义误差向量

{后验误差向量ek=xk−x^k先验误差向量ek−=xk−x^k−\begin{cases} \text{后验误差向量}e_k=x_k-\hat{x}_k\\ \text{先验误差向量}e_{k}^{-}=x_k-\hat{x}_{k}^{-}\\\end{cases}{后验误差向量ek​=xk​−x^k​先验误差向量ek−​=xk​−x^k−​​

定义后验误差协方差矩阵为:

Pk=E(ekekT)=[σe12σe1σe2⋯σe1σenσe2σe1σe22⋯σe2σen⋮⋮⋱⋮σenσe1σenσe2⋯σen2]P_k=E\left( e_ke_{k}^{T} \right) =\left[ \begin{matrix} \sigma _{e1}^{2}& \sigma _{e1}\sigma _{e2}& \cdots& \sigma _{e1}\sigma _{en}\\ \sigma _{e2}\sigma _{e1}& \sigma _{e2}^{2}& \cdots& \sigma _{e2}\sigma _{en}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \sigma _{en}\sigma _{e1}& \sigma _{en}\sigma _{e2}& \cdots& \sigma _{en}^{2}\\\end{matrix} \right]Pk​=E(ek​ekT​)=⎣⎢⎢⎢⎡​σe12​σe2​σe1​⋮σen​σe1​​σe1​σe2​σe22​⋮σen​σe2​​⋯⋯⋱⋯​σe1​σen​σe2​σen​⋮σen2​​⎦⎥⎥⎥⎤​

同理也有先验误差协方差矩阵Pk−P_{k}^{-}Pk−​。根据最小方差估计原理，设损失函数为tr(Pk)\mathrm{tr}\left( P_k \right)tr(Pk​)，即要求

Kk=argmin⁡[tr(Pk)]K_k=\mathrm{arg}\min \left[ \mathrm{tr}\left( P_k \right) \right]Kk​=argmin[tr(Pk​)]

将PkP_kPk​展开为：

上面运用了状态更新方程与状态预测方程，考虑到ek−e_{k}^{-}ek−​与vkv_kvk​相互独立，则进一步：

Pk=(I−KkC)E(ek−ek−T)(I−KkC)T+KkE(vkvkT)KkT=(I−KkC)Pk−(I−KkC)T+KkRKkTP_k=\left( I-K_kC \right) E\left( e_{k}^{-}{e_{k}^{-}}^T \right) \left( I-K_kC \right) ^T+K_kE\left( v_kv_{k}^{T} \right) K_{k}^{T}\\=\left( I-K_kC \right) P_{k}^{-}\left( I-K_kC \right) ^T+K_kRK_{k}^{T}Pk​=(I−Kk​C)E(ek−​ek−​T)(I−Kk​C)T+Kk​E(vk​vkT​)KkT​=(I−Kk​C)Pk−​(I−Kk​C)T+Kk​RKkT​

令∂tr(Pk)∂Kk=0\frac{\partial \mathrm{tr}\left( P_k \right)}{\partial K_k}=0∂Kk​∂tr(Pk​)​=0，即

卡尔曼增益调整方程Kk=Pk−CTCPk−CT+R{\text{卡尔曼增益调整方程}K_k=\frac{P_{k}^{-}C^T}{CP_{k}^{-}C^T+R}}卡尔曼增益调整方程Kk​=CPk−​CT+RPk−​CT​

将KkK_kKk​代入后验误差协方差矩阵表达式，即得

协方差更新方程Pk=(I−KkH)Pk−{\text{协方差更新方程}P_k=\left( I-K_kH \right) P_{k}^{-}}协方差更新方程Pk​=(I−Kk​H)Pk−​

要更新KkK_kKk​，则只需要确定先验误差协方差矩阵Pk−P_{k}^{-}Pk−​。同样地，将 Pk−P_{k}^{-}Pk−​展开为
Pk−=E(ek−ek−T)=E[(xk−x^k−)(xk−x^k−)T]=E[(Aek−1+wk−1)(Aek−1+wk−1)T]=AE(ek−1ek−1T)AT+E(wk−1wk−1T)P_{k}^{-}=E\left( e_{k}^{-}e_{k}^{-T} \right) \\=E\left[ \left( x_k-\hat{x}_{k}^{-} \right) \left( x_k-\hat{x}_{k}^{-} \right) ^T \right] \\=E\left[ \left( Ae_{k-1}+w_{k-1} \right) \left( Ae_{k-1}+w_{k-1} \right) ^T \right] \\=AE\left( e_{k-1}e_{k-1}^{T} \right) A^T+E\left( w_{k-1}w_{k-1}^{T} \right)Pk−​=E(ek−​ek−T​)=E[(xk​−x^k−​)(xk​−x^k−​)T]=E[(Aek−1​+wk−1​)(Aek−1​+wk−1​)T]=AE(ek−1​ek−1T​)AT+E(wk−1​wk−1T​)

考虑到eke_kek​与wkw_kwk​相互独立，进一步得到

协方差预测方程Pk−=APk−1AT+Q{\text{协方差预测方程}P_{k}^{-}=AP_{k-1}A^T+Q}协方差预测方程Pk−​=APk−1​AT+Q

至此，得到卡尔曼滤波的五大基本公式，其中核心方程为基于最小方差估计的卡尔曼增益调整方程，具体工作流程如图所示。

4 具体案例：船舶GPS定位

有一船舶出港沿某直线方向航行，辅助北斗卫星进行定位和测速。假设
① 船舶加速度a(t)a\left( t \right)a(t)=机动加速度u(t)u\left( t \right)u(t)+随机加速度w(t)w\left( t \right)w(t)，其中w(t)w\left( t \right)w(t)符合高斯分布；
② GPS观测噪声v(t)v\left( t \right)v(t)符合高斯分布。
要求用卡尔曼滤波器估计真实运动轨迹。

解决方案

首先建立随机系统的真实模型。以码头出发点为原点，采样周期(雷达扫描周期)为TTT，用s(k)s(k)s(k)表示船舶在采样时刻kTkTkT处的真实位置，用z(k)z\left( k \right)z(k)表示在时刻kTkTkT处的GPS定位观测值，则真实系统输出方程为z(k)=s(k)+v(k)z(k)=s(k)+v(k)z(k)=s(k)+v(k)。

记在kTkTkT时刻处船舶速s˙(k)\dot{s}\left( k \right)s˙(k)，加速度为a(k)a\left( k \right)a(k)，由匀加速公式有：

s(k+1)=s(k)+s˙(k)T+12a(k)T2⇒s˙(k+1)=s˙(k)+Ta(k)s\left( k+1 \right) =s\left( k \right) +ṡ\left( k \right) T+\frac{1}{2}a\left( k \right) T^2\\\Rightarrow \dot{s}\left( k+1 \right) =ṡ\left( k \right) +Ta\left( k \right)s(k+1)=s(k)+s˙(k)T+21​a(k)T2⇒s˙(k+1)=s˙(k)+Ta(k)

其中a(k)=u(k)+w(k)a(k)=u(k)+w(k)a(k)=u(k)+w(k)。

定义在采样时刻kTkTkT系统状态x(k)x\left( k \right)x(k)为船舶的位置和速度，即x(k)=[s(k)s˙(k)]Tx(k)=\left[ \begin{matrix} s(k)& \dot{s}(k)\\\end{matrix} \right] ^Tx(k)=[s(k)​s˙(k)​]T可得到船舶运动的状态空间模型

{[s(k+1)s˙(k+1)]=[1T01][s(k)s˙(k)]+[0.5TT]u(k)+[0.5TT]w(k)z(k)=[10][s(k)s˙(k)]+v(k)\begin{cases} \left[ \begin{array}{c} s(k+1)\\ \dot{s}(k+1)\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& T\\ 0& 1\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} s(k)\\ \dot{s}(k)\\\end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} 0.5T\\ T\\\end{array} \right] u(k)+\left[ \begin{array}{c} 0.5T\\ T\\\end{array} \right] w(k)\\ z(k)=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} s(k)\\ \dot{s}(k)\\\end{array} \right] +v(k)\\\end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​[s(k+1)s˙(k+1)​]=[10​T1​][s(k)s˙(k)​]+[0.5TT​]u(k)+[0.5TT​]w(k)z(k)=[1​0​][s(k)s˙(k)​]+v(k)​

在不考虑机动目标的动力因素即u(k)=0u(k)=0u(k)=0时，将匀速直线运动的船舶系统扩展到四维，状态包含水平和纵向的位置和速度，则系统方程可化为

[x(k)x˙(k)y(k)y˙(k)]=[1T000100001T0001][x(k−1)x˙(k−1)y(k−1)y˙(k−1)]+[0.5T2T0.5T2T][w1(k)w2(k)w3(k)w4(k)]z(k)=[10000010][x(k)x˙(k)y(k)y˙(k)]+[v1(k)v2(k)]\left[ \begin{array}{c} x(k)\\ \dot{x}(k)\\ y(k)\\ \dot{y}(k)\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& T& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& T\\ 0& 0& 0& 1\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x(k-1)\\ \dot{x}(k-1)\\ y(k-1)\\ \dot{y}(k-1)\\\end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} 0.5T^2& & & \\ & T& & \\ & & 0.5T^2& \\ & & & T\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} w_1\left( k \right)\\ w_2\left( k \right)\\ w_3\left( k \right)\\ w_4\left( k \right)\\\end{array} \right] \\z(k)=\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x(k)\\ \dot{x}(k)\\ y(k)\\ \dot{y}(k)\\\end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} v_1\left( k \right)\\ v_2\left( k \right)\\\end{array} \right]⎣⎢⎢⎡​x(k)x˙(k)y(k)y˙​(k)​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​T100​0010​00T1​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​x(k−1)x˙(k−1)y(k−1)y˙​(k−1)​⎦⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎡​0.5T2​T​0.5T2​T​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​w1​(k)w2​(k)w3​(k)w4​(k)​⎦⎥⎥⎤​z(k)=[10​00​01​00​]⎣⎢⎢⎡​x(k)x˙(k)y(k)y˙​(k)​⎦⎥⎥⎤​+[v1​(k)v2​(k)​]

现假设初始位置为(-100m，200m)，水平运动初速度为2m/s，垂直运动初速度为20m/s，雷达扫描周期T=1sT=1sT=1s，则系统状态空间进一步化为

{x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+Γw(k)z(k)=Hx(k)+v(k)\begin{cases} x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+\varGamma w(k)\\ z(k)=Hx(k)+v(k)\\\end{cases}{x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+Γw(k)z(k)=Hx(k)+v(k)​

其中A=[1100010000110001]A=\left[ \begin{matrix} 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\\end{matrix} \right]A=⎣⎢⎢⎡​1000​1100​0010​0011​⎦⎥⎥⎤​，B=Γ=[0.510.51]B=\varGamma =\left[ \begin{matrix} 0.5& & & \\ & 1& & \\ & & 0.5& \\ & & & 1\\\end{matrix} \right]B=Γ=⎣⎢⎢⎡​0.5​1​0.5​1​⎦⎥⎥⎤​,H=[10000010]H=\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\\end{matrix} \right]H=[10​00​01​00​] 。

设过程噪声w∼N(0,0.12)w\sim N(0,0.1^2)w∼N(0,0.12)，其四个分量独立同分布，则

Q∗=E(w4×1w4×1T)=σw2[1111]Q^*=E(w_{4\times 1}w_{4\times 1}^{T})=\sigma _{w}^{2}\left[ \begin{matrix} 1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\\\end{matrix} \right]Q∗=E(w4×1​w4×1T​)=σw2​⎣⎢⎢⎡​1​1​1​1​⎦⎥⎥⎤​

考虑噪声矩阵Γ\varGammaΓ的加权得到过程噪声协方差矩阵

Q=Q∗⋅Γ=σw2[0.510.51]Q=Q^*\cdot \varGamma =\sigma _{w}^{2}\left[ \begin{matrix} 0.5& & & \\ & 1& & \\ & & 0.5& \\ & & & 1\\\end{matrix} \right]Q=Q∗⋅Γ=σw2​⎣⎢⎢⎡​0.5​1​0.5​1​⎦⎥⎥⎤​

观测噪声v∼N(0,102)v\sim N(0,10^2)v∼N(0,102)，其两个分量独立同分布，则观测噪声协方差矩阵

R=σv2[11]R=\sigma _{v}^{2}\left[ \begin{matrix} 1& \\ & 1\\\end{matrix} \right]R=σv2​[1​1​]

依此建立卡尔曼滤波器模型。

设置最优估计初值x^(1)=[−1002−20020]T\hat{x}(1)=\left[ \begin{matrix} -100& 2& -200& 20\\\end{matrix} \right] ^Tx^(1)=[−100​2​−200​20​]T、先验协方差矩阵P1−=[1000010000100001]P_{1}^{-}=\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\\end{matrix} \right]P1−​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​，并以此开始迭代，得到实验图像如图所示。

在使用卡尔曼滤波器时，应至少保证系统模型或系统测量至少一个有足够的精度，否则卡尔曼滤波器无法从中提取到正确的估计信息。这是因为卡尔曼滤波调整的是对先验模型值与仪器测量值间的信任权重，若二者都不准确则卡尔曼跟踪的数值亦不准确。为验证这一结论，下面保持测量噪声不变，调整过程噪声方差，如图所示。

本文的完整工程代码请通过下方名片联系我获取

---

详细总结卡尔曼滤波原理+具体案例分析相关推荐

1. 「网工必备」超详细链路聚合原理及分析

   大家好,今天带大家了解一下以太网链路聚合, 从它的背景作用到应用范围,再到配置实验,一步搞定,记得看到最后! 链路聚合技术的背景和作用 随着网络规模的不断扩大,人们对骨干链路的带宽和可靠性的需求也越来 ...

2. 自动驾驶算法-滤波器系列（一）——详解卡尔曼滤波原理

   详解卡尔曼滤波原理 什么是卡尔曼滤波? 我们能用卡尔曼滤波做什么? 卡尔曼滤波是如何看到你的问题的 使用矩阵来描述问题 外部控制量 外部干扰 用测量量来修正估计值 融合高斯分布 将所有公式整合起来 总 ...

3. Batch Normalization详解（原理+实验分析）

   Batch Normalization详解(原理+实验分析) 1. 计算过程 2. 前向传播过程 3. 反向传播过程 4. 实验分析 4.1 实验一:验证有没有BatchNorm下准确率的区别 4.2 ...

4. ukf源程序 matlab,《卡尔曼滤波原理及应用-MATLAB仿真》程序-5.1UKF

   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 无迹Kalman滤波在目标跟踪中的应用 % ...

5. 卡尔曼滤波原理及实现

   卡尔曼滤波原理及实现 前一段时间,做项目研究了一下卡尔曼滤波,并且在项目当中实现了一个物体跟踪的功能,所以,借着新鲜劲儿,本次博客对卡尔曼滤波进行一次整理. 卡尔曼滤波是什么 卡尔曼滤波能做什么 卡尔 ...

6. 朴素贝叶斯算法和拉普拉斯平滑详细介绍及其原理详解

   相关文章 K近邻算法和KD树详细介绍及其原理详解 朴素贝叶斯算法和拉普拉斯平滑详细介绍及其原理详解 决策树算法和CART决策树算法详细介绍及其原理详解 线性回归算法和逻辑斯谛回归算法详细介绍及其原理详 ...

7. 卡尔曼滤波原理详解（一）

   卡尔曼滤波原理详解(一) 前言 数据融合的思想 例子引入 卡尔曼增益推导 前言 本文是对卡尔曼滤波学习的记录,主要参照了DR_CAN老师的视频进行学习.视频专栏链接:DR_CAN卡尔曼滤波视频专栏.虽 ...

8. ARP中间人攻击详细过程及原理

   ARP中间人攻击详细过程及原理 一.实验详细过程 实验工具: Kali,ENSP,Wireshark 实验环境: Kali:IP: 192.168.135.1 Server:192.168.135.2 ...

9. 卡尔曼滤波原理详解（二）

   卡尔曼滤波原理详解(二) 前言 卡尔曼增益推导 总结 前言 本文是对卡尔曼滤波学习的记录,主要参照了DR_CAN老师的视频进行学习.视频专栏链接:DR_CAN卡尔曼滤波视频专栏.虽然网上有很多卡尔曼滤 ...

10. 决策树算法和CART决策树算法详细介绍及其原理详解

    相关文章 K近邻算法和KD树详细介绍及其原理详解 朴素贝叶斯算法和拉普拉斯平滑详细介绍及其原理详解 决策树算法和CART决策树算法详细介绍及其原理详解 线性回归算法和逻辑斯谛回归算法详细介绍及其原理详 ...

最新文章

1. [导入]将文字内容和图片插入到Access数据库（转帖）
2. 谷歌新发布的分布式数据库服务，是要打破CAP定理了吗？
3. C语言读写伯克利DB 4
4. 西北工业大学附属中学2019届高考毕业生去向，其中北大清华88人
5. 微信接口开发之高级篇系列【网页授权详细说明【提供测试账号使用】】
6. 第二百三十一天 how can I 坚持
7. JAVA_HOME系统环境变量
8. php 微信小程序 循环 多选,微信小程序实现多选功能
9. 关于std:auto_ptr
10. python-基础-代码备注与变量命名方法
11. php 热点图,JavaScript_javascript如何写热点图，在gis中，你如果用js来写热点 - phpStudy...
12. 一次数据分析的全过程
13. docker 安装与部署
14. Rust :CC编译
15. 易语言5.71程序静态破解
16. Spring Boot配置QueryDSL（生成Query查询实体类，查询数据）
17. JSP概述与运行原理
18. FineBI 无法将聚合和非聚合参数混用（或条件求和）
19. SpringCloud微服务架构学习
20. 获取两个向量中间位置的点

热门文章

1. 我看过的关于职业规划最好最全面的一篇文章
2. python输入学生成绩计算平均值_从用户输入中计算和、积和平均值
3. 计算机思维在英语专业的应用,英语专业在计算机科学中的重要性
4. JS用图片制作的走动的时间表
5. C#编程，无损压缩图片的一种方法
6. 百数巡检领域系统能力展示
7. 互联网行业的常用黑话，你知道几条？
8. [Luogu4173/BZOJ4259] 残缺的字符串
9. 京东商城发现了一枚Bug
10. win7系统桌面计算机不见了,win7 64位旗舰版系统桌面上的计算机图标不见了