二项分布期望与方差的证明

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二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。
如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况，后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称，叫相互对立事件。在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。在n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。
如果令q=(1-p)，那么很容易得出发生x次的概率为C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从n，p的二项分布记做x～B(n，p)。
现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。
首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知：
Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ
=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ
=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)
=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ∑Pξξ
因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2
而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)
所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
下面计算数学期望,
Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)
=n*p*(p+q)^(n-1)
=n*p
如果要计算方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出结果，过程如下，
Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}p^ξ *q^(n-ξ) － n*p∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1，n}ξ(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1) *q^(n-ξ) － n*p∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)
=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)q^(n-ξ)ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ ，n}＋C{ξ ，n}*q)
=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)q^(n-ξ)ξ*[C{ξ ，n}*q－(C{ξ ，n}－C{ξ-1，n-1})]
=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)q^(n-ξ)ξC{ξ ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)ξ*C{ξ，n-1}]
=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]
=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－
∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]
=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)q(p+q)^(n-2)]
=n*p*[n*q－(n-1)*q]
=n*p*q
以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……

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