斐波那契数列（II）

题目链接：luogu P1962 / SSL 1529

题目大意

就是求斐波那契数列的某一项。

思路

这道题是矩阵乘法模板题。

一开始弄一个 1×21\times 21×2 的矩阵，表示斐波那契数列的两位：

1(F[n-2]）	1(F[n-1])

然后我们来看怎么让他移到下一位。
这个新的矩阵左边是由原来的右边构成，新的右边是由原来的左右两边加在一起构成。
那我们就可以乘这一个 2×22\times 22×2 的矩阵：

0	1
1	1

那我们要得到答案，其实就是把它挪动 n−1n-1n−1 次，然后要左边的那个值。
那就是乘 n−1n-1n−1 次上面这个 2×22\times 22×2 的矩阵。
那我们可以用矩阵快速幂来先求出所有 2×22\times 22×2 的矩阵乘起来是多少，然后再拿原来的乘这个乘完的 2×22\times 22×2 矩阵。

代码

不用重载运算符

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mo 1000000007
#define ll unsigned long longusing namespace std;ll n, ans[2][2] = {{1, 1}, {0, 0}}, a[2][2] = {{0, 1}, {1, 1}}, b[2][2], re[2][2];void times(ll x[2][2], ll y[2][2]) {memset(re, 0, sizeof(re));for (ll k = 0; k < 2; k++)for (ll i = 0; i < 2; i++)for (ll j = 0; j < 2; j++)re[i][j] = (re[i][j] + (x[i][k] * y[k][j]) % mo) % mo;for (ll i = 0; i < 2; i++)for (ll j = 0; j < 2; j++)b[i][j] = re[i][j];return ;
}void jzksm(ll now) {//矩阵快速幂if (!now) return ;if (now == 1) {for (ll i = 0; i < 2; i++)for (ll j = 0; j < 2; j++)b[i][j] = a[i][j];return ;}jzksm(now / 2);times(b, b);if (now & 1) times(b, a);return ;
}int main() {scanf("%lld", &n);if (n == 1) {//记得特判1printf("1");return 0;}jzksm(n - 1);times(ans, b);//记得ans一定要在左边（因为矩阵乘法位置不可以调换）printf("%lld", b[0][0]);return 0;
}

用重载运算符

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mo 10000
#define ll unsigned long longusing namespace std;struct matrix {ll n, m, a[5][5];
}a, b, ans;
ll n;matrix operator *(matrix x, matrix y) {matrix z;z.n = x.n;z.m = y.m;for (int i = 0; i < z.n; i++)for (int j = 0; j < z.m; j++)z.a[i][j] = 0;for (ll k = 0; k < x.m; k++)for (ll i = 0; i < z.n; i++)for (ll j = 0; j < z.m; j++)z.a[i][j] = (z.a[i][j] + (x.a[i][k] * y.a[k][j]) % mo) % mo;return z;
}void jzksm(ll now) {//矩阵快速幂if (!now) return ;if (now == 1) {b = a;return ;}jzksm(now / 2);b = b * b;if (now & 1) b = b * a;return ;
}int main() {scanf("%lld", &n);if (n == 1) {//记得特判1printf("1");return 0;}a.n = 2;a.m = 2;a.a[0][0] = 0;a.a[0][1] = 1;a.a[1][0] = 1;a.a[1][1] = 1;jzksm(n - 1);ans.n = 1;ans.m = 2;ans.a[0][0] = 1;ans.a[0][1] = 1;ans = ans * b;//记得ans一定要在左边（因为矩阵乘法位置不可以调换）printf("%lld", ans.a[0][0]);return 0;
}

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