题目：斐波那契数列，又称黄金分割数列(F(n+1)/F(n)的极限是1:1.618，即黄金分割率)，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：

F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2，n∈N*)

递归实现——自上而下

在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下递归求解的代码：

long Fibonacci(long n) //递归算法

{

if(n<=) return n; //终止递归的条件

else return Fibonacci(n-) + Fibonacci(n-);//递归步骤

}

但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解F(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得F(10)，需要求得F(9)和F(8)。同样，要求得F(9)，要先求得F(8)和F(7)……我们用下面的树形结构来表示这种依赖关系

F(10)

/             \

F(9)          F(8)

/     \           /    \

F(8)    F(7)   F(7)   F(6)

/    \      /    \

F(7)  F(6) F(6)  F(5)

我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。例如，在递归计算F(10)时，F(3)的值被计算了21次。而在递归计算F(30)，这个调用的次数是骇人的317811次！这些个计算实际上只有一次是必要的，其余的纯属浪费！

事实上这个递归算法的时间复杂度是指数级Ω(φn)，φ=1.618(1:1.618=0.618称为黄金分割率)。

迭代算法——自底向上

下面的程序使用一个简单循环迭代来代替递归，这个非递归的形式不如上文给出的递归简单，也不太符合Fibonacci的递归定义，但是，它的运行速度提高了特别多！

迭代算法的源码如下：

// 计算斐波那契数列的非递归算法(迭代)

long Fibonacci(long n)

{

if(n<=) return n; // Fib(0)或Fib(1)的情况

long FibCurrent, FibTwoBack = , FibOneBack = ; // 用数组保存程序更简洁，但不能明显的看出迭代的思想

for(int i= ; i<=n ; i++) // n≥2的情况

{

FibCurrent = FibOneBack + FibTwoBack; // 计算Fib(i)=Fib(i-1)+Fib(i-2)

/* 下面的保存顺序不能对调 */

FibTwoBack = FibOneBack; // 保存Fib(i-1)作为下趟的Fib(i-2)

FibOneBack = FibCurrent; // 保存Fib(i)作为下趟的Fib(i-1)

}

return FibCurrent;

}

显然，这个算法的时间复杂度为O(n)，相比于前面指数级的递归算法，有了质的飞跃。

事实上，这还不是最快的算法。还有一种时间复杂度是O(logn)的方法

转化为特征矩阵乘方——分治策略 + 矩阵快速幂

由数学归纳法易证：

问题转化为求

，继而就求出了F(n)。

对于乘方问题我们利用分治策略优化有

运行时间递归式：T(n) = T(n/2) + θ(1) (同二分搜索一样)　   用主方法接得T(n) = θ(logn)

利用对特征矩阵乘方优化的方法可以得到最小的运行时间复杂度O(logn)，代码如下：

class Matrix // 自定义2×2矩阵类

{

public:

unsigned int a11, a12, a21, a22; // 矩阵元素

Matrix(int a, int b, int c, int d) :a11(a), a12(b), a21(c), a22(d) {}// 构造函数

Matrix operator*(const Matrix &other) // 重载矩阵的乘法

{

Matrix result(, , , );

result.a11 = a11*other.a11 + a12*other.a21;

result.a12 = a11*other.a12 + a12*other.a22;

result.a21 = a21*other.a11 + a22*other.a21;

result.a22 = a21*other.a12 + a22*other.a22;

return result;

}

};

Matrix MatrixPow(const Matrix &A, unsigned int n)// 计算矩阵A的n次方(分治策略,此处自底向上迭代)

{

Matrix result(, , , ); // 单位矩阵

Matrix tmp = A;

while (n)

{

if (n & ) // &为按位"与"运算,如果n为奇数

result = result * tmp;// 单乘一次矩阵

tmp = tmp * tmp;

n = n >> ; // n右移一位,相当于n/2(向下取整)

}

return result;

}

unsigned int Fibonacci(int n)

{

if (n <= )

return n;

Matrix A(, , , ); // 特征矩阵

Matrix result = MatrixPow(A, n); // 计算矩阵A的n次方

return result.a12; // Fn即为结果矩阵中第一行第二例上的元素

}

参考资料：　《MIT算法导论公开课》第三集——分治法

《编程之美》P163

《剑指offer》P73

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