一维搜索之黄金分割法

黄金分割法（0.618法）优化的原理

例题

这里用黄金分割法求解 y=x2−7x+10y = x^2-7x+10y=x2−7x+10 的最优解,，初始区间 [a,b]=[2,8][a,b]=[2,8][a,b]=[2,8], 收敛精度为 0.001。

kkk	aaa	xk1x_{k}^{1}xk1	xk2x_{k}^{2}xk2	bbb	f(xk1)f(x_{k}^{1})f(xk1)	f(xk2)f(x_{k}^{2})f(xk2)	[a,b][a,b][a,b]	b-a
1	2	–	–	8	–	–	[2,8][2,8][2,8]	6
222	222	4.2924.2924.292	5.7085.7085.708	888	−1.6227359999999997-1.6227359999999997−1.6227359999999997	2.62526400000000142.62526400000000142.6252640000000014	[2,5.708][2, 5.708][2,5.708]	3.7083.7083.708
333	222	3.4164563.4164563.416456	4.2915444.2915444.291544	5.7085.7085.708	−2.2430204000639993-2.2430204000639993−2.2430204000639993	−1.6234580960639988-1.6234580960639988−1.6234580960639988	[2,4.291544][2, 4.291544 ][2,4.291544]	2.2915442.2915442.291544
4	2.8753698082.8753698082.875369808	3.4163483493443.4163483493443.416348349344	3.7505654586563.7505654586563.750565458656	4.2915444.2915444.291544	−2.243002401342528-2.243002401342528−2.243002401342528	−2.2429843830315406-2.2429843830315406−2.2429843830315406	[2.875369808,3.750565458656][ 2.875369808 , 3.750565458656][2.875369808,3.750565458656]	0.87519565065600040.87519565065600040.8751956506560004
–	–	–	–	–	–	–	–	–
18	3.4989636647843513.4989636647843513.498963664784351	3.49960490195589863.49960490195589863.4996049019558986	3.50000105895193333.50000105895193333.5000010589519333	3.5006422961234813.5006422961234813.500642296123481	−2.2499998438975357-2.2499998438975357−2.2499998438975357	−2.2499999999988773-2.2499999999988773−2.2499999999988773	[3.4996049019558986,3.500642296123481][ 3.4996049019558986 , 3.500642296123481 ][3.4996049019558986,3.500642296123481]	0.00103739416758230620.00103739416758230620.0010373941675823062
19	3.49960490195589863.49960490195589863.4996049019558986	3.5000011865279153.5000011865279153.500001186527915	3.50024601155146443.50024601155146443.5002460115514644	3.5006422961234813.5006422961234813.500642296123481	−2.249999999998593-2.249999999998593−2.249999999998593	−2.2499999394783163-2.2499999394783163−2.2499999394783163	[3.4996049019558986,3.5002460115514644][ 3.4996049019558986 , 3.5002460115514644 ][3.4996049019558986,3.5002460115514644]	0.0043951973144658040.0043951973144658040.004395197314465804

代码实现

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from pylab import *#目标函数
def function(x):y = x**2 - 7 * x + 10return y
#黄金分割法
def GoldenBorder(a, b, accuracy):x1 = a + 0.382*(b - a)x2 = a + 0.618*(b - a)fx1 = function(x1)fx2 = function(x2)print( "a=", a,"x1=", x1, "x2=", x2 , ",b=", b,",f(x1)=",fx1, ",f(x2)=", fx2,  )if fx1 < fx2:a = ab = x2else:a = x1b = baccuracy = b - aprint("NewRange[", a, ", ",b,"]","accuracy=", b-a)return a, b ,accuracya = 2
b = 8
value = []
accuracy = b - a
epoch = 0
accuracies = []
ys = []
epoches=[]
xs = []
while accuracy > 0.001:epoch += 1print("-"*100)print("Epoch：",epoch)a, b, accuracy = GoldenBorder(a, b, accuracy)accuracies.append(accuracy)ys.append(function( a + (b - a) / 2 ))epoches.append(epoch)xs.append(a + (b - a) / 2)
x = a + (b - a) / 2
y = function(x)
print("-"*100)
print("最优点：x*=", x,",f(x*)=", y)

plt.title(' Golden Section Search ')plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(epoches,accuracies, ":o", label = 'accuracy', color="blue")
xticks(np.linspace(0,19,20,endpoint=True))
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(ys, "-.o", label = 'f(x)', color="red")
xticks(np.linspace(0,19,20,endpoint=True))
plt.xlabel('epoch')
plt.ylabel('accuracy')
plt.legend()
plt.show()

X = np.linspace(3, 4, 20)
Epoch = np.linspace(0, 19,20)
X, Epoch= np.meshgrid(X, Epoch)
Y = X**2 - X * 7 + 10

fig = plt.figure(figsize = ((8,6)))
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.plot_surface(Epoch ,X , Y, color="yellow", alpha=0.5)
ax.plot(epoches ,xs , ys,"-.o",color="blue")
xticks(np.linspace(0,19,20,endpoint=True))
ax.set_xlabel('epoch')                #设置坐标轴标签
ax.set_ylabel('x')
ax.set_zlabel(' f(x) ')
plt.show()

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