高斯启发式Gaussian Heuristic 格理论相关知识

2024-06-07 04:59:46

格理论相关知识

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基本空间
- 基本空间的体积
赫米特定理
- 更精确的说明
高斯启发式

刚刚接触格密码，在WP里看到Gaussian Heuristic，没搜到直接的讲解。只找到英文版，遂作翻译。

latex公式怎么加粗啊

格 Lattice，基本空间 fundamental domain，赫米特定理 Hermite’s Theorem，高斯启发式 The Gaussian Heuristic

翻译自https://blog.csdn.net/qq_33458986/article/details/104366177

如有错误敬请指正

基本空间

基本空间的体积

命题 7.20 L⊂RnL\subset \mathbb{R}^nL⊂Rn 为维数为n的格，ν1,v2,v3,....,vn\nu_1,v_2,v_3,....,v_nν1,v2,v3,....,vn是L的一组基底，F=F(v1,...,vn)\mathcal{F}=\mathcal{F}(v_1,...,v_n)F=F(v1,...,vn)是格L的基本区域，第i个基向量的坐标可以写成

vi=(ri1,ri2,...,rin)v_i=(r_{i1},r_{i2},...,r_{in})vi=(ri1,ri2,...,rin)

以每一个viv_ivi的坐标为列，组成矩阵
F=F(ν1,...,νn)=(r11r12…r1nr21r22…r2n⋮⋮⋱⋮rn1rn2…rnn)F=F(\nu_1,...,\nu_n)=\left(\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & \dots & r_{1n} \\r_{21}& r_{22} & \dots & r_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n1}& r_{n2} &\dots & r_{nn} \end{matrix}\right)F=F(ν1,...,νn)=⎝⎜⎜⎜⎛r11r21⋮rn1r12r22⋮rn2……⋱…r1nr2n⋮rnn⎠⎟⎟⎟⎞

则F\mathcal{F}F的体积定义为：
Vol(F(ν1,ν2,...,νn))=∣det(F(ν1,ν2,...,νn))∣Vol(\mathcal{F}(\nu_1,\nu_2,...,\nu_n))=\lvert det(F(\nu_1,\nu_2,...,\nu_n))\rvertVol(F(ν1,ν2,...,νn))=∣det(F(ν1,ν2,...,νn))∣

当基向量相互正交，Det(L)=Vol(F)Det(\mathcal{L})=Vol(\mathcal{F})Det(L)=Vol(F)获得最大值

赫米特定理

定理 7.25 (赫米特定理)对于所有n维的格L，都包含一个非零向量ν∈L\nu \in Lν∈L，并且满足：
∣∣ν∣∣≤ndet(L)1/n\lvert \lvert \nu \rvert \rvert \le \sqrt{n}det(L)^{1/n}∣∣ν∣∣≤ndet(L)1/n

对于这一定理有更精确的说明如下：

更精确的说明

注记 7.26 给定维度n，赫米特常数γn\gamma_nγn是使所有n维格L包含的非零向量ν\nuν满足下式的最小值
∣∣ν∣∣2≤γndet(L)2/n\lvert \lvert \nu \rvert \rvert^2 \le \gamma_ndet(L)^{2/n}∣∣ν∣∣2≤γndet(L)2/n
由定理7.25(赫米特定理)可知 γn≤n\gamma_n\le nγn≤n (其实就是平方了一下)。只有1≤n≤81\le n \le 81≤n≤8或者n=24n=24n=24时，γn\gamma_nγn的值才可知：

γ22\gamma_2^2γ22	γ33\gamma_3^3γ33	γ44\gamma_4^4γ44	γ55\gamma_5^5γ55	γ66\gamma_6^6γ66	γ77\gamma_7^7γ77	γ88\gamma_8^8γ88	γ2424\gamma_{24}^{24}γ2424
43\frac{4}{3}34	2	4	8	643\frac{64}{3}364	64	256	4

为了一些密码方面的目的，我们通常关注当n很大时的γn\gamma_nγn的值。n很大时，γn\gamma_nγn满足

n2πe≤γn≤nπe\frac{n}{2\pi e}\le\gamma_n\le\frac{n}{\pi e}2πen≤γn≤πen
其中π=3.14159....\pi=3.14159....π=3.14159....，e=2.71828...e=2.71828...e=2.71828...，都是常数。

高斯启发式

The Gaussian Heuristic 是对赫米特常数的进一步缩小

定义：
L是n维格，高斯所期望的最短的长度是
σ(L)=n2πe(detL)1/n\sigma(L)=\sqrt{\frac{n}{2\pi e}}(det\space L)^{1/n}σ(L)=2πen(det L)1/n

高斯启发式表示，在一个“随机选择的格”中的最短非零向量满足
∣∣νshortest∣∣≈σ(L)\lvert \lvert \nu_{shortest} \rvert \rvert \approx \sigma(L)∣∣νshortest∣∣≈σ(L)

更精确地，假如确定了ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，则当n足够大时的n维格L满足
(1−ϵ)σ(L)≤∣∣νshortest∣∣≤(1+ϵ)σ(L)(1-\epsilon)\sigma(L)\le\lvert\lvert\nu_{shortest}\rvert\rvert\le (1+\epsilon)\sigma(L)(1−ϵ)σ(L)≤∣∣νshortest∣∣≤(1+ϵ)σ(L)

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