数值积分和图像相关知识

本周的学习也是集中在课程理论的学习，同时也穿插着专业的学习。课程的持续学习也为专业知识的学习提供了坚实的理论基础。比如先系统的学习一些基础的数学知识，再去看一些算法的书籍将会轻松很多，而且理解的层次也是大不相同的。
1 数值分析相关知识
1.1数值积分有关解法
1.1.1数值求积的Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）方法
在实际应用时，考虑到计算的方便，常将积分区间等分之，并取分点为求积分节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。
若将积分区间[a,b]n等分，取分点作为求积节点，并作变量替换。可得：

这就是一般的牛顿—柯特斯公式，其中称为柯特斯系数。当n=1就是梯形公式。当n=2称为辛普生（Simpson）公式其几何意义就是通过三点的抛物线围成的曲边梯形面积近似地代替原曲边梯形面积因此又名抛物线公式。当n=4称为柯特斯公式。梯形公式、辛普生公式和柯特斯公式，是三个最基本、最常用的等距节点下的求积公式。
1.1.2复合Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式
当积分区间较大时，直接使用牛顿-柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿—柯特斯公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。
复合梯形公式

就可以导出复合梯形公式：

仿上，可得复合辛普生公式：

1.2Romberg（龙贝格）算法
1.龙贝格（Romberg) 算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形产生的近似值进行加权平均，以获得准确程度较高的一种方法，具有公式简练、使用方便、结果较可靠等优点。本节介绍它的基本原理和应用方法。
为了便于上机计算，引用记号来表示各近似值，其中k仍代表积分区间的二分次数，而下标m则指出了近似值所在序列的性质：
当m=0时，在梯形序列中；当m=1时，在辛普生序列中；当m=2时在柯特斯序列中，若用记号表示，则如下表所示。

引入上面的记号后，龙贝格算法所用到的各个计算公式可以统一为：
2. 二值图像处理
2.1二值图像定义
二值图像是指将图像上的每一个像素只有两种可能的取值或灰度等级状态，人们经常用黑白、B&W、单色图像表示二值图像。二值图像是指每个像素不是黑就是白，其灰度值没有中间过渡的图像。二值图像一般用来描述文字或者图形，其优点是占用空间少，缺点是，当表示人物，风景的图像时，二值图像只能描述其轮廓，不能描述细节。这时候要用更高的灰度级。二值图像是每个像素只有两个可能值的数字图像。人们经常用黑白、B&W、单色图像表示二值图像，但是也可以用来表示每个像素只有一个采样值的任何图像，例如灰度图像等。
2.2二值图像相关算法
这里列举二值图像连通域标记算法包括直接扫描标记算法和二值图像连通域标记快速算法
一、直接扫描标记算法把连续区域作同一个标记，常见的四邻域标记算法和八邻域标记算法。
1、四邻域标记算法：
（1）判断此点四邻域中的最左，最上有没有点，如果都没有点，则表示一个新的区域的开始。
（2）如果此点四邻域中的最左有点，最上没有点，则标记此点为最左点的值；如果此点四邻域中的最左没有点，最上有点，则标记此点为最上点的值。
（3）如果此点四邻域中的最左有点，最上都有点，则标记此点为这两个中的最小的标记点，并修改大标记为小标记。
2、八邻域标记算法：
（1）判断此点八邻域中的最左，左上，最上，上右点的情况。如果都没有点，则表示一个新的区域的开始。
（2）如果此点八邻域中的最左有点，上右都有点，则标记此点为这两个中的最小的标记点，并修改大标记为小标记。
（3）如果此点八邻域中的左上有点，上右都有点，则标记此点为这两个中的最小的标记点，并修改大标记为小标记。
（4）否则按照最左，左上，最上，上右的顺序，标记此点为四个中的一个。
二、二值图像连通域标记快速算法
算法描述
首先，在进行标记算法以前，利用硬件开辟独立的图像标记缓存和连通关系数组，接着在视频流的采集传输过程中，以流水线的方式按照视频传输顺序对图像进行逐行像素扫描，然后对每个像素的邻域分别按照逆时针方向和水平方向进行连通性检测和等价标记关系合并，检测出的结果对标记等价数组和标记缓存进行更新，在一帧图像采集传输结束后，得到图像的初步标记结果以及初步标记之间的连通关系，最后，根据标号对连通关系数组从小到大的传递过程进行标号的归并，利用归并后的连通关系数组对图像标记缓存中的标号进行替换，替换后的图像为最终标记结果，并且连通域按照扫描顺序被赋予唯一的连续自然数。
快速二值图像连通域标记算法分为三个环节：
1.图像初步标记：为每个像素赋予临时标记，并且将临时标记的等价关系记录在等价表中
2.整理等价表：这一环节分为两个步骤：
（1）将具有等价关系的临时标记全部等价为其中的最小值；（2）对连通区域以自然数顺序重新编号，得到临时标记与最终标记之间的等价关系。
3.图像代换：对图像进行逐像素代换，将临时标记代换为最终标记．经过3个环节处理后，算法输出标记后的图像，图像中连通域按照由上到下，由左至右出现的顺序被标以连续的自然数。
3. 本周学习心得
孔子云：“吾日三省吾身”，这句话运用在学习上就是要时刻提醒自己收获了什么，刚才的学习有哪些好处，又有哪些不足。用可见的进步来提醒自己不可以混混度日，更不可低下效率的学习。坚韧不拔的学习劲头固然重要，但是没有效果的努力更是一剂毒药，它会消磨你的意志。

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