样本和总体

总体均值u=∑i=1NxiNu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}u=N∑i=1Nxi，样本均值X‾=∑i=1nxin\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n}X=n∑i=1nxi

总体方差

总体方差σ2=∑i=1N(xi−μ)2N\sigma^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{N}σ2=N∑i=1N(xi−μ)2

样本方差

样本方差Sn2=∑i=1n(xi−x‾)2nS_{\text{n}}^2=\frac{\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\overline{x} \right) ^2}}{n}Sn2=n∑i=1n(xi−x)2，这个公式计算的样本方差通常会低估总体方差。
无偏样本方差S2=Sn−12=∑i=1n(xi−x‾)2n−1S^{2}=S_{n-1}^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2}}{n-1}S2=Sn−12=n−1∑i=1n(xi−x)2，总体方差的无偏估计。

标准差

σ\sigmaσ，S

随机变量

随机变量：X、Y、Z，区别于传统变量之处在于，它更像是从随机过程映射到数值的函数，包括离散和连续随机变量。

概率密度函数

概率密度函数从负无穷到正无穷求积分为1.

二项分布

p(x=k)=Cnkpk(1−p)n−kp(x=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}p(x=k)=Cnkpk(1−p)n−k
期望值：E(X)=npE\left( X \right) =npE(X)=np
方差：np(1−p)np\left( 1-p \right)np(1−p)

泊松分布

E(X)=λ=npE\left( X \right) =\lambda =npE(X)=λ=np
推导可得，p(x=k)=lim⁡n→∞Cnk(λn)k(1−λn)n−k=λkk!e−λp\left( x=k \right) =\lim_{n\rightarrow \infty} C_{n}^{k}\left( \frac{\lambda}{n} \right) ^k\left( 1-\frac{\lambda}{n} \right) ^{n-k}=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}p(x=k)=limn→∞Cnk(nλ)k(1−nλ)n−k=k!λke−λ

大数定律

当n趋向于无穷时，样本均值与期望值近似相等。

正态分布

p(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}p(x)=σ2π1e−21(σx−μ)2，随着n的增加，正态分布和二项分布的差值越来越小。
累积分布函数：CDF(x)=∫−∞xp(x)dxC D F(x)=\int_{-\infty}^{x} p(x) d xCDF(x)=∫−∞xp(x)dx
z分数：x−μσ\frac{x-\mu}{\sigma}σx−μ
标准正态分布：均值为0，方差为1.
经验法则：1σ\sigmaσ 68%, 2σ\sigmaσ 95%, 3σ\sigmaσ 99.7%

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