【复习笔记】线性代数——线性方程组

2024-05-20 15:25:28

一、同解方程组

若 $Ax=0,Bx=0$ 是同解方程组，则有：

1、 $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$ ，且 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$ （解出两个解相互代入都成立）定义

2、 $r(A)=r(B)$ ，且 $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$ 或 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$ （秩相同，单方满足）

3、 $r(A)=r(B)=r\left ( \begin{bmatrix} A\\ B\end{bmatrix} \right )$ ，三秩相等

二、两个方程组的公共解

1、两个方程组解的公共部分

2、求出一个方程组的通解，带入另一个方程组中，消去多余的未知量，即为公共解。（就是先满足一个方程组的条件，再代入加上另一个方程组的限制条件，多元未知数，一个方程求一个未知量）

3、求出两个方程的基础解系，另两个基础解系相等，也可消去未知数，代回原来其中的一个解系得到未定量更少的解系为公共解系

三、线性方程组系数矩阵列向量和解的关系

1、齐次线性方程组的解是使系数矩阵列向量的线性组合为0时的线性组合的系数。

$\alpha _1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_nx_n=0$

2、非齐次线性方程组的解是一个数由系数矩阵列向量线性表出的表出系数。

$\alpha _1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_nx_n=\beta$

四、方程组 $Ax=0$ 的基础解系的讨论

给出

$A_{m\times n}=0,r(A)=r,$

若向量组满足

（1） $A\alpha_i=0,i=1,2,...,s$

（2）向量组线性无关

（3） $s=n-r$

则该向量组为该方程的基础解系。

五、解的结构

$s=n-r$

1、齐次线性方程组通解为：

$k_!\xi _1+k_2\xi_2+...+k_{n-r}\xi_{n-r}$

2、非齐次线性方程组的通解为

$k_!\xi _1+k_2\xi_2+...+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta$

3、

$A\eta _1=b=A\eta_2$

$\xi_1=\eta_1-\eta_2$

六、方程组有解的条件

1、 $A_{m\times n}x=0$ ：

若 $r(A)=n$ ，只有零解

若 $r(A)< n$ ，有无穷多个解（未知数数量多于方程数）

2、 $A_{m\times n}x=b$ ：

若 $r(A)\neq r([A,b])$ ，无解

若 $r(A)=r([A,b])=n$ ，有唯一解

若 $r(A)=r([A,b])=r< n$ ，有无穷多解

七、求解其次线性方程组和非齐次线性方程组

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